Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9882 / 10523
↖ ↑ ↗
← S 45.506347°
E 37.133789°		 ← 1 712.32 m → S 45.506347°
E 37.155762°		 →
↑
1 712.08 m
↓
↑
1 712.08 m
↓
S 45.521744°
E 37.133789°		 ← 1 711.86 m →
2 931 232 m²		 S 45.521744°
E 37.155762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603179931640625 y=0.642303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603179931640625 × 214)
    floor (0.603179931640625 × 16384)
    floor (9882.5)     		tx = 9882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642303466796875 × 214)
    floor (0.642303466796875 × 16384)
    floor (10523.5)     		ty = 10523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9882 / 10523 ti = "14/9882/10523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9882/10523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9882 ÷ 214
    9882 ÷ 16384     		x = 0.6031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10523 ÷ 214
    10523 ÷ 16384     		y = 0.64227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6031494140625 × 2 - 1) × π
    0.206298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64810688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.2845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.893927304114807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64810688} λ = 0.64810688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893927304114807))-π/2
    2×atan(0.409046145502224)-π/2
    2×0.38828037141709-π/2
    0.776560742834179-1.57079632675     		φ = -0.79423558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64810688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.133789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79423558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.506347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9882 KachelY 10523 0.64810688 -0.79423558 37.133789 -45.506347
    Oben rechts KachelX + 1 9883 KachelY 10523 0.64849038 -0.79423558 37.155762 -45.506347
    Unten links KachelX 9882 KachelY + 1 10524 0.64810688 -0.79450431 37.133789 -45.521744
    Unten rechts KachelX + 1 9883 KachelY + 1 10524 0.64849038 -0.79450431 37.155762 -45.521744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79423558--0.79450431) × R
    0.000268729999999939 × 6371000     		dl = 1712.07882999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79423558--0.79450431) × R
    0.000268729999999939 × 6371000     		dr = 1712.07882999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64810688-0.64849038) × cos(-0.79423558) × R
    0.000383499999999981 × 0.700830253003312 × 6371000     		do = 1712.32348931247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64810688-0.64849038) × cos(-0.79450431) × R
    0.000383499999999981 × 0.700638535043895 × 6371000     		du = 1711.85506894416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79423558)-sin(-0.79450431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700830253003312-0.700638535043895)×R²
    abs(0.64849038-0.64810688)×0.000191717959417304×R²
    0.000383499999999981×0.000191717959417304×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191717959417304×40589641000000     		ar = 2931231.82750541m²