Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9881 / 10522
↖ ↑ ↗
← S 45.490946°
E 37.111817°		 ← 1 712.75 m → S 45.490946°
E 37.133789°		 →
↑
1 712.52 m
↓
↑
1 712.52 m
↓
S 45.506347°
E 37.111817°		 ← 1 712.28 m →
2 932 721 m²		 S 45.506347°
E 37.133789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603118896484375 y=0.642242431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603118896484375 × 214)
    floor (0.603118896484375 × 16384)
    floor (9881.5)     		tx = 9881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642242431640625 × 214)
    floor (0.642242431640625 × 16384)
    floor (10522.5)     		ty = 10522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9881 / 10522 ti = "14/9881/10522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9881/10522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9881 ÷ 214
    9881 ÷ 16384     		x = 0.60308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10522 ÷ 214
    10522 ÷ 16384     		y = 0.6422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60308837890625 × 2 - 1) × π
    0.2061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64772339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64772339} λ = 0.64772339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893543808917847))-π/2
    2×atan(0.40920304281712)-π/2
    2×0.388414772315261-π/2
    0.776829544630521-1.57079632675     		φ = -0.79396678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64772339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.111817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79396678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.490946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9881 KachelY 10522 0.64772339 -0.79396678 37.111817 -45.490946
    Oben rechts KachelX + 1 9882 KachelY 10522 0.64810688 -0.79396678 37.133789 -45.490946
    Unten links KachelX 9881 KachelY + 1 10523 0.64772339 -0.79423558 37.111817 -45.506347
    Unten rechts KachelX + 1 9882 KachelY + 1 10523 0.64810688 -0.79423558 37.133789 -45.506347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79396678--0.79423558) × R
    0.000268800000000069 × 6371000     		dl = 1712.52480000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79396678--0.79423558) × R
    0.000268800000000069 × 6371000     		dr = 1712.52480000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64772339-0.64810688) × cos(-0.79396678) × R
    0.000383490000000042 × 0.701021970271482 × 6371000     		do = 1712.74724588241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64772339-0.64810688) × cos(-0.79423558) × R
    0.000383490000000042 × 0.700830253003312 × 6371000     		du = 1712.27883941732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79396678)-sin(-0.79423558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701021970271482-0.700830253003312)×R²
    abs(0.64810688-0.64772339)×0.000191717268170355×R²
    0.000383490000000042×0.000191717268170355×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191717268170355×40589641000000     		ar = 2932721.07352098m²