Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9881 / 10403
↖ ↑ ↗
← S 43.628123°
E 37.111817°		 ← 1 768.48 m → S 43.628123°
E 37.133789°		 →
↑
1 768.27 m
↓
↑
1 768.27 m
↓
S 43.644026°
E 37.111817°		 ← 1 768.01 m →
3 126 739 m²		 S 43.644026°
E 37.133789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603118896484375 y=0.634979248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603118896484375 × 214)
    floor (0.603118896484375 × 16384)
    floor (9881.5)     		tx = 9881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634979248046875 × 214)
    floor (0.634979248046875 × 16384)
    floor (10403.5)     		ty = 10403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9881 / 10403 ti = "14/9881/10403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9881/10403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9881 ÷ 214
    9881 ÷ 16384     		x = 0.60308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10403 ÷ 214
    10403 ÷ 16384     		y = 0.63494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60308837890625 × 2 - 1) × π
    0.2061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64772339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.2698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.847907880479553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64772339} λ = 0.64772339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847907880479553))-π/2
    2×atan(0.428310071113748)-π/2
    2×0.404670963402221-π/2
    0.809341926804441-1.57079632675     		φ = -0.76145440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64772339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.111817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76145440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.628123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9881 KachelY 10403 0.64772339 -0.76145440 37.111817 -43.628123
    Oben rechts KachelX + 1 9882 KachelY 10403 0.64810688 -0.76145440 37.133789 -43.628123
    Unten links KachelX 9881 KachelY + 1 10404 0.64772339 -0.76173195 37.111817 -43.644026
    Unten rechts KachelX + 1 9882 KachelY + 1 10404 0.64810688 -0.76173195 37.133789 -43.644026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76145440--0.76173195) × R
    0.000277550000000071 × 6371000     		dl = 1768.27105000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76145440--0.76173195) × R
    0.000277550000000071 × 6371000     		dr = 1768.27105000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64772339-0.64810688) × cos(-0.76145440) × R
    0.000383490000000042 × 0.723833277129185 × 6371000     		do = 1768.48016817639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64772339-0.64810688) × cos(-0.76173195) × R
    0.000383490000000042 × 0.723641746713376 × 6371000     		du = 1768.01221823175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76145440)-sin(-0.76173195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723833277129185-0.723641746713376)×R²
    abs(0.64810688-0.64772339)×0.000191530415808994×R²
    0.000383490000000042×0.000191530415808994×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191530415808994×40589641000000     		ar = 3126738.57278884m²