Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 988 / 477
↖ ↑ ↗
← N 68.847665°
W  6.328125°		 ← 7 053.14 m → N 68.847665°
W  6.152344°		 →
↑
7 063.27 m
↓
↑
7 063.27 m
↓
N 68.784144°
W  6.328125°		 ← 7 073.35 m →
49 889 627 m²		 N 68.784144°
W  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482666015625 y=0.233154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482666015625 × 211)
    floor (0.482666015625 × 2048)
    floor (988.5)     		tx = 988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233154296875 × 211)
    floor (0.233154296875 × 2048)
    floor (477.5)     		ty = 477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 988 / 477 ti = "11/988/477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/988/477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 988 ÷ 211
    988 ÷ 2048     		x = 0.482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 477 ÷ 211
    477 ÷ 2048     		y = 0.23291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482421875 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23291015625 × 2 - 1) × π
    0.5341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67817498189893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11044662} λ = -0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67817498189893))-π/2
    2×atan(5.35577266442369)-π/2
    2×1.38620738217855-π/2
    2.7724147643571-1.57079632675     		φ = 1.20161844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20161844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.847665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 988 KachelY 477 -0.11044662 1.20161844 -6.328125 68.847665
    Oben rechts KachelX + 1 989 KachelY 477 -0.10737866 1.20161844 -6.152344 68.847665
    Unten links KachelX 988 KachelY + 1 478 -0.11044662 1.20050978 -6.328125 68.784144
    Unten rechts KachelX + 1 989 KachelY + 1 478 -0.10737866 1.20050978 -6.152344 68.784144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20161844-1.20050978) × R
    0.00110866000000009 × 6371000     		dl = 7063.2728600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20161844-1.20050978) × R
    0.00110866000000009 × 6371000     		dr = 7063.2728600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11044662--0.10737866) × cos(1.20161844) × R
    0.00306795999999999 × 0.360848831226474 × 6371000     		do = 7053.14156997002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11044662--0.10737866) × cos(1.20050978) × R
    0.00306795999999999 × 0.361882572528031 × 6371000     		du = 7073.34704970464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20161844)-sin(1.20050978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360848831226474-0.361882572528031)×R²
    abs(-0.10737866--0.11044662)×0.00103374130155737×R²
    0.00306795999999999×0.00103374130155737×6371000²
    0.00306795999999999×0.00103374130155737×40589641000000     		ar = 49889626.9472844m²