Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 988 / 1210
↖ ↑ ↗
← S 31.052934°
W  6.328125°		 ← 16.745 km → S 31.052934°
W  6.152344°		 →
↑
16.732 km
↓
↑
16.732 km
↓
S 31.203405°
W  6.328125°		 ← 16.718 km →
279.946 km²		 S 31.203405°
W  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482666015625 y=0.591064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482666015625 × 211)
    floor (0.482666015625 × 2048)
    floor (988.5)     		tx = 988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591064453125 × 211)
    floor (0.591064453125 × 2048)
    floor (1210.5)     		ty = 1210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 988 / 1210 ti = "11/988/1210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/988/1210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 988 ÷ 211
    988 ÷ 2048     		x = 0.482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1210 ÷ 211
    1210 ÷ 2048     		y = 0.5908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482421875 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    -0.181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.570640853077148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11044662} λ = -0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570640853077148))-π/2
    2×atan(0.565163136085713)-π/2
    2×0.514410193176934-π/2
    1.02882038635387-1.57079632675     		φ = -0.54197594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54197594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.052934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 988 KachelY 1210 -0.11044662 -0.54197594 -6.328125 -31.052934
    Oben rechts KachelX + 1 989 KachelY 1210 -0.10737866 -0.54197594 -6.152344 -31.052934
    Unten links KachelX 988 KachelY + 1 1211 -0.11044662 -0.54460215 -6.328125 -31.203405
    Unten rechts KachelX + 1 989 KachelY + 1 1211 -0.10737866 -0.54460215 -6.152344 -31.203405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54197594--0.54460215) × R
    0.00262620999999996 × 6371000     		dl = 16731.5839099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54197594--0.54460215) × R
    0.00262620999999996 × 6371000     		dr = 16731.5839099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11044662--0.10737866) × cos(-0.54197594) × R
    0.00306795999999999 × 0.856691105761415 × 6371000     		do = 16744.8613596233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11044662--0.10737866) × cos(-0.54460215) × R
    0.00306795999999999 × 0.855333475735648 × 6371000     		du = 16718.3251595784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54197594)-sin(-0.54460215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856691105761415-0.855333475735648)×R²
    abs(-0.10737866--0.11044662)×0.00135763002576728×R²
    0.00306795999999999×0.00135763002576728×6371000²
    0.00306795999999999×0.00135763002576728×40589641000000     		ar = 279946217.469618m²