Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9876 / 10542
↖ ↑ ↗
← S 45.798170°
E 37.001953°		 ← 1 703.42 m → S 45.798170°
E 37.023926°		 →
↑
1 703.16 m
↓
↑
1 703.16 m
↓
S 45.813486°
E 37.001953°		 ← 1 702.96 m →
2 900 805 m²		 S 45.813486°
E 37.023926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602813720703125 y=0.643463134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602813720703125 × 214)
    floor (0.602813720703125 × 16384)
    floor (9876.5)     		tx = 9876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643463134765625 × 214)
    floor (0.643463134765625 × 16384)
    floor (10542.5)     		ty = 10542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9876 / 10542 ti = "14/9876/10542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9876/10542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9876 ÷ 214
    9876 ÷ 16384     		x = 0.602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10542 ÷ 214
    10542 ÷ 16384     		y = 0.6434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602783203125 × 2 - 1) × π
    0.20556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64580591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64580591} λ = 0.64580591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901213712857056))-π/2
    2×atan(0.406076500254827)-π/2
    2×0.385733738562399-π/2
    0.771467477124798-1.57079632675     		φ = -0.79932885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64580591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.001953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79932885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.798170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9876 KachelY 10542 0.64580591 -0.79932885 37.001953 -45.798170
    Oben rechts KachelX + 1 9877 KachelY 10542 0.64618941 -0.79932885 37.023926 -45.798170
    Unten links KachelX 9876 KachelY + 1 10543 0.64580591 -0.79959618 37.001953 -45.813486
    Unten rechts KachelX + 1 9877 KachelY + 1 10543 0.64618941 -0.79959618 37.023926 -45.813486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79932885--0.79959618) × R
    0.00026733000000001 × 6371000     		dl = 1703.15943000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79932885--0.79959618) × R
    0.00026733000000001 × 6371000     		dr = 1703.15943000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64580591-0.64618941) × cos(-0.79932885) × R
    0.000383499999999981 × 0.69718800593834 × 6371000     		do = 1703.42446536693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64580591-0.64618941) × cos(-0.79959618) × R
    0.000383499999999981 × 0.696996335269732 × 6371000     		du = 1702.95616054324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79932885)-sin(-0.79959618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69718800593834-0.696996335269732)×R²
    abs(0.64618941-0.64580591)×0.000191670668607591×R²
    0.000383499999999981×0.000191670668607591×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191670668607591×40589641000000     		ar = 2900804.65987041m²