Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98752 / 100929
↖ ↑ ↗
← S 69.225971°
E 91.230469°		 ← 108.31 m → S 69.225971°
E 91.233215°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 69.226945°
E 91.230469°		 ← 108.30 m →
11 730 m²		 S 69.226945°
E 91.233215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753421783447266 y=0.770030975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753421783447266 × 217)
    floor (0.753421783447266 × 131072)
    floor (98752.5)     		tx = 98752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770030975341797 × 217)
    floor (0.770030975341797 × 131072)
    floor (100929.5)     		ty = 100929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98752 / 100929 ti = "17/98752/100929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98752/100929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98752 ÷ 217
    98752 ÷ 131072     		x = 0.75341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100929 ÷ 217
    100929 ÷ 131072     		y = 0.770027160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75341796875 × 2 - 1) × π
    0.5068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.59227206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770027160644531 × 2 - 1) × π
    -0.540054321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.69663068825265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59227206} λ = 1.59227206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69663068825265))-π/2
    2×atan(0.183300079897524)-π/2
    2×0.181287602115823-π/2
    0.362575204231646-1.57079632675     		φ = -1.20822112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59227206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20822112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.225971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98752 KachelY 100929 1.59227206 -1.20822112 91.230469 -69.225971
    Oben rechts KachelX + 1 98753 KachelY 100929 1.59231999 -1.20822112 91.233215 -69.225971
    Unten links KachelX 98752 KachelY + 1 100930 1.59227206 -1.20823812 91.230469 -69.226945
    Unten rechts KachelX + 1 98753 KachelY + 1 100930 1.59231999 -1.20823812 91.233215 -69.226945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20822112--1.20823812) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dl = 108.307000000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20822112--1.20823812) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dr = 108.307000000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59227206-1.59231999) × cos(-1.20822112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354683190384762 × 6371000     		do = 108.306779022834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59227206-1.59231999) × cos(-1.20823812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354667295562291 × 6371000     		du = 108.301925347577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20822112)-sin(-1.20823812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354683190384762-0.354667295562291)×R²
    abs(1.59231999-1.59227206)×1.58948224717737e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58948224717737e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58948224717737e-05×40589641000000     		ar = 11730.1194725192m²