Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9874 / 10402
↖ ↑ ↗
← S 43.612217°
E 36.958008°		 ← 1 768.99 m → S 43.612217°
E 36.979981°		 →
↑
1 768.72 m
↓
↑
1 768.72 m
↓
S 43.628123°
E 36.958008°		 ← 1 768.53 m →
3 128 436 m²		 S 43.628123°
E 36.979981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602691650390625 y=0.634918212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602691650390625 × 214)
    floor (0.602691650390625 × 16384)
    floor (9874.5)     		tx = 9874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634918212890625 × 214)
    floor (0.634918212890625 × 16384)
    floor (10402.5)     		ty = 10402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9874 / 10402 ti = "14/9874/10402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9874/10402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9874 ÷ 214
    9874 ÷ 16384     		x = 0.6026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10402 ÷ 214
    10402 ÷ 16384     		y = 0.6348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6026611328125 × 2 - 1) × π
    0.205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64503892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.847524385282593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64503892} λ = 0.64503892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847524385282593))-π/2
    2×atan(0.42847435746833)-π/2
    2×0.404809775057144-π/2
    0.809619550114289-1.57079632675     		φ = -0.76117678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64503892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.958008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76117678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.612217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9874 KachelY 10402 0.64503892 -0.76117678 36.958008 -43.612217
    Oben rechts KachelX + 1 9875 KachelY 10402 0.64542242 -0.76117678 36.979981 -43.612217
    Unten links KachelX 9874 KachelY + 1 10403 0.64503892 -0.76145440 36.958008 -43.628123
    Unten rechts KachelX + 1 9875 KachelY + 1 10403 0.64542242 -0.76145440 36.979981 -43.628123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76117678--0.76145440) × R
    0.000277619999999978 × 6371000     		dl = 1768.71701999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76117678--0.76145440) × R
    0.000277619999999978 × 6371000     		dr = 1768.71701999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64503892-0.64542242) × cos(-0.76117678) × R
    0.000383500000000092 × 0.724024800069398 × 6371000     		do = 1768.99422747678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64503892-0.64542242) × cos(-0.76145440) × R
    0.000383500000000092 × 0.723833277129185 × 6371000     		du = 1768.5262835947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76117678)-sin(-0.76145440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724024800069398-0.723833277129185)×R²
    abs(0.64542242-0.64503892)×0.000191522940212296×R²
    0.000383500000000092×0.000191522940212296×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191522940212296×40589641000000     		ar = 3128436.38835895m²