Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9873 / 10485
↖ ↑ ↗
← S 44.918139°
E 36.936035°		 ← 1 730.08 m → S 44.918139°
E 36.958008°		 →
↑
1 729.92 m
↓
↑
1 729.92 m
↓
S 44.933697°
E 36.936035°		 ← 1 729.61 m →
2 992 491 m²		 S 44.933697°
E 36.958008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602630615234375 y=0.639984130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602630615234375 × 214)
    floor (0.602630615234375 × 16384)
    floor (9873.5)     		tx = 9873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639984130859375 × 214)
    floor (0.639984130859375 × 16384)
    floor (10485.5)     		ty = 10485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9873 / 10485 ti = "14/9873/10485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9873/10485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9873 ÷ 214
    9873 ÷ 16384     		x = 0.60260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10485 ÷ 214
    10485 ÷ 16384     		y = 0.63995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60260009765625 × 2 - 1) × π
    0.2052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64465543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.2799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87935448663031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64465543} λ = 0.64465543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87935448663031))-π/2
    2×atan(0.415050746032618)-π/2
    2×0.393413451082737-π/2
    0.786826902165474-1.57079632675     		φ = -0.78396942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64465543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.936035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78396942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.918139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9873 KachelY 10485 0.64465543 -0.78396942 36.936035 -44.918139
    Oben rechts KachelX + 1 9874 KachelY 10485 0.64503892 -0.78396942 36.958008 -44.918139
    Unten links KachelX 9873 KachelY + 1 10486 0.64465543 -0.78424095 36.936035 -44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 9874 KachelY + 1 10486 0.64503892 -0.78424095 36.958008 -44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78396942--0.78424095) × R
    0.00027153000000002 × 6371000     		dl = 1729.91763000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78396942--0.78424095) × R
    0.00027153000000002 × 6371000     		dr = 1729.91763000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64465543-0.64503892) × cos(-0.78396942) × R
    0.000383489999999931 × 0.708116333276611 × 6371000     		do = 1730.08029850167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64465543-0.64503892) × cos(-0.78424095) × R
    0.000383489999999931 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 1729.61180646946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78396942)-sin(-0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708116333276611-0.707924580986091)×R²
    abs(0.64503892-0.64465543)×0.000191752290520042×R²
    0.000383489999999931×0.000191752290520042×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191752290520042×40589641000000     		ar = 2992491.20176681m²