Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9871 / 7468
↖ ↑ ↗
← N 15.707663°
E 36.892090°		 ← 2 351.97 m → N 15.707663°
E 36.914062°		 →
↑
2 352.11 m
↓
↑
2 352.11 m
↓
N 15.686510°
E 36.892090°		 ← 2 352.22 m →
5 532 388 m²		 N 15.686510°
E 36.914062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602508544921875 y=0.455841064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602508544921875 × 214)
    floor (0.602508544921875 × 16384)
    floor (9871.5)     		tx = 9871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455841064453125 × 214)
    floor (0.455841064453125 × 16384)
    floor (7468.5)     		ty = 7468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9871 / 7468 ti = "14/9871/7468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9871/7468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9871 ÷ 214
    9871 ÷ 16384     		x = 0.60247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7468 ÷ 214
    7468 ÷ 16384     		y = 0.455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60247802734375 × 2 - 1) × π
    0.2049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64388844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    0.08837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.277650522599365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64388844} λ = 0.64388844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.277650522599365))-π/2
    2×atan(1.32002479775436)-π/2
    2×0.92247337995471-π/2
    1.84494675990942-1.57079632675     		φ = 0.27415043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64388844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.892090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27415043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.707663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9871 KachelY 7468 0.64388844 0.27415043 36.892090 15.707663
    Oben rechts KachelX + 1 9872 KachelY 7468 0.64427193 0.27415043 36.914062 15.707663
    Unten links KachelX 9871 KachelY + 1 7469 0.64388844 0.27378124 36.892090 15.686510
    Unten rechts KachelX + 1 9872 KachelY + 1 7469 0.64427193 0.27378124 36.914062 15.686510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27415043-0.27378124) × R
    0.000369190000000019 × 6371000     		dl = 2352.10949000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27415043-0.27378124) × R
    0.000369190000000019 × 6371000     		dr = 2352.10949000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64388844-0.64427193) × cos(0.27415043) × R
    0.000383490000000042 × 0.962655548407312 × 6371000     		do = 2351.97427354456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64388844-0.64427193) × cos(0.27378124) × R
    0.000383490000000042 × 0.962755433309665 × 6371000     		du = 2352.21831381529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27415043)-sin(0.27378124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962655548407312-0.962755433309665)×R²
    abs(0.64427193-0.64388844)×9.98849023533532e-05×R²
    0.000383490000000042×9.98849023533532e-05×6371000²
    0.000383490000000042×9.98849023533532e-05×40589641000000     		ar = 5532388.07659838m²