Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9870 / 7470
↖ ↑ ↗
← N 15.665354°
E 36.870117°		 ← 2 352.52 m → N 15.665354°
E 36.892090°		 →
↑
2 352.62 m
↓
↑
2 352.62 m
↓
N 15.644197°
E 36.870117°		 ← 2 352.77 m →
5 534 878 m²		 N 15.644197°
E 36.892090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602447509765625 y=0.455963134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602447509765625 × 214)
    floor (0.602447509765625 × 16384)
    floor (9870.5)     		tx = 9870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455963134765625 × 214)
    floor (0.455963134765625 × 16384)
    floor (7470.5)     		ty = 7470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9870 / 7470 ti = "14/9870/7470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9870/7470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9870 ÷ 214
    9870 ÷ 16384     		x = 0.6024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7470 ÷ 214
    7470 ÷ 16384     		y = 0.4559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6024169921875 × 2 - 1) × π
    0.204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64350494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4559326171875 × 2 - 1) × π
    0.088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.276883532205444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64350494} λ = 0.64350494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276883532205444))-π/2
    2×atan(1.3190127395838)-π/2
    2×0.922104167877934-π/2
    1.84420833575587-1.57079632675     		φ = 0.27341201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64350494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.870117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27341201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.665354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9870 KachelY 7470 0.64350494 0.27341201 36.870117 15.665354
    Oben rechts KachelX + 1 9871 KachelY 7470 0.64388844 0.27341201 36.892090 15.665354
    Unten links KachelX 9870 KachelY + 1 7471 0.64350494 0.27304274 36.870117 15.644197
    Unten rechts KachelX + 1 9871 KachelY + 1 7471 0.64388844 0.27304274 36.892090 15.644197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27341201-0.27304274) × R
    0.000369269999999977 × 6371000     		dl = 2352.61916999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27341201-0.27304274) × R
    0.000369269999999977 × 6371000     		dr = 2352.61916999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64350494-0.64388844) × cos(0.27341201) × R
    0.000383499999999981 × 0.962855197787977 × 6371000     		do = 2352.52340336849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64350494-0.64388844) × cos(0.27304274) × R
    0.000383499999999981 × 0.962954841785986 × 6371000     		du = 2352.76686140649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27341201)-sin(0.27304274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962855197787977-0.962954841785986)×R²
    abs(0.64388844-0.64350494)×9.96439980093244e-05×R²
    0.000383499999999981×9.96439980093244e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.96439980093244e-05×40589641000000     		ar = 5534878.10155611m²