Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9870 / 10449
↖ ↑ ↗
← S 44.355278°
E 36.870117°		 ← 1 746.99 m → S 44.355278°
E 36.892090°		 →
↑
1 746.67 m
↓
↑
1 746.67 m
↓
S 44.370987°
E 36.870117°		 ← 1 746.52 m →
3 051 011 m²		 S 44.370987°
E 36.892090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602447509765625 y=0.637786865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602447509765625 × 214)
    floor (0.602447509765625 × 16384)
    floor (9870.5)     		tx = 9870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637786865234375 × 214)
    floor (0.637786865234375 × 16384)
    floor (10449.5)     		ty = 10449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9870 / 10449 ti = "14/9870/10449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9870/10449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9870 ÷ 214
    9870 ÷ 16384     		x = 0.6024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10449 ÷ 214
    10449 ÷ 16384     		y = 0.63775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6024169921875 × 2 - 1) × π
    0.204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64350494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.2755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.865548659539734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64350494} λ = 0.64350494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865548659539734))-π/2
    2×atan(0.420820602038668)-π/2
    2×0.398325340691006-π/2
    0.796650681382012-1.57079632675     		φ = -0.77414565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64350494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.870117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77414565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.355278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9870 KachelY 10449 0.64350494 -0.77414565 36.870117 -44.355278
    Oben rechts KachelX + 1 9871 KachelY 10449 0.64388844 -0.77414565 36.892090 -44.355278
    Unten links KachelX 9870 KachelY + 1 10450 0.64350494 -0.77441981 36.870117 -44.370987
    Unten rechts KachelX + 1 9871 KachelY + 1 10450 0.64388844 -0.77441981 36.892090 -44.370987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77414565--0.77441981) × R
    0.000274160000000023 × 6371000     		dl = 1746.67336000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77414565--0.77441981) × R
    0.000274160000000023 × 6371000     		dr = 1746.67336000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64350494-0.64388844) × cos(-0.77414565) × R
    0.000383499999999981 × 0.715018575679266 × 6371000     		do = 1746.98951305769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64350494-0.64388844) × cos(-0.77441981) × R
    0.000383499999999981 × 0.714826882058554 × 6371000     		du = 1746.52115215561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77414565)-sin(-0.77441981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715018575679266-0.714826882058554)×R²
    abs(0.64388844-0.64350494)×0.00019169362071203×R²
    0.000383499999999981×0.00019169362071203×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019169362071203×40589641000000     		ar = 3051011.0250129m²