Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 987 / 1205
↖ ↑ ↗
← S 30.297018°
W  6.503906°		 ← 16.876 km → S 30.297018°
W  6.328125°		 →
↑
16.863 km
↓
↑
16.863 km
↓
S 30.448674°
W  6.503906°		 ← 16.850 km →
284.372 km²		 S 30.448674°
W  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482177734375 y=0.588623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482177734375 × 211)
    floor (0.482177734375 × 2048)
    floor (987.5)     		tx = 987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588623046875 × 211)
    floor (0.588623046875 × 2048)
    floor (1205.5)     		ty = 1205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 987 / 1205 ti = "11/987/1205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/987/1205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 987 ÷ 211
    987 ÷ 2048     		x = 0.48193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1205 ÷ 211
    1205 ÷ 2048     		y = 0.58837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48193359375 × 2 - 1) × π
    -0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.55530104519873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11351458} λ = -0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55530104519873))-π/2
    2×atan(0.573899465509439)-π/2
    2×0.521006805604077-π/2
    1.04201361120815-1.57079632675     		φ = -0.52878272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52878272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.297018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 987 KachelY 1205 -0.11351458 -0.52878272 -6.503906 -30.297018
    Oben rechts KachelX + 1 988 KachelY 1205 -0.11044662 -0.52878272 -6.328125 -30.297018
    Unten links KachelX 987 KachelY + 1 1206 -0.11351458 -0.53142961 -6.503906 -30.448674
    Unten rechts KachelX + 1 988 KachelY + 1 1206 -0.11044662 -0.53142961 -6.328125 -30.448674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52878272--0.53142961) × R
    0.00264688999999996 × 6371000     		dl = 16863.3361899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52878272--0.53142961) × R
    0.00264688999999996 × 6371000     		dr = 16863.3361899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11351458--0.11044662) × cos(-0.52878272) × R
    0.00306796000000001 × 0.863421806747373 × 6371000     		do = 16876.4194604429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11351458--0.11044662) × cos(-0.53142961) × R
    0.00306796000000001 × 0.862083473545203 × 6371000     		du = 16850.2604355942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52878272)-sin(-0.53142961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863421806747373-0.862083473545203)×R²
    abs(-0.11044662--0.11351458)×0.00133833320216981×R²
    0.00306796000000001×0.00133833320216981×6371000²
    0.00306796000000001×0.00133833320216981×40589641000000     		ar = 284372336.856387m²