Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9867 / 7480
↖ ↑ ↗
← N 15.453680°
E 36.804199°		 ← 2 354.94 m → N 15.453680°
E 36.826172°		 →
↑
2 355.04 m
↓
↑
2 355.04 m
↓
N 15.432501°
E 36.804199°		 ← 2 355.19 m →
5 546 272 m²		 N 15.432501°
E 36.826172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602264404296875 y=0.456573486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602264404296875 × 214)
    floor (0.602264404296875 × 16384)
    floor (9867.5)     		tx = 9867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456573486328125 × 214)
    floor (0.456573486328125 × 16384)
    floor (7480.5)     		ty = 7480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9867 / 7480 ti = "14/9867/7480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9867/7480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9867 ÷ 214
    9867 ÷ 16384     		x = 0.60223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7480 ÷ 214
    7480 ÷ 16384     		y = 0.45654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60223388671875 × 2 - 1) × π
    0.2044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64235445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    0.0869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.27304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64235445} λ = 0.64235445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.27304858023584))-π/2
    2×atan(1.31396407595896)-π/2
    2×0.920256964126273-π/2
    1.84051392825255-1.57079632675     		φ = 0.26971760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64235445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.804199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26971760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.453680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9867 KachelY 7480 0.64235445 0.26971760 36.804199 15.453680
    Oben rechts KachelX + 1 9868 KachelY 7480 0.64273795 0.26971760 36.826172 15.453680
    Unten links KachelX 9867 KachelY + 1 7481 0.64235445 0.26934795 36.804199 15.432501
    Unten rechts KachelX + 1 9868 KachelY + 1 7481 0.64273795 0.26934795 36.826172 15.432501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26971760-0.26934795) × R
    0.000369649999999999 × 6371000     		dl = 2355.04014999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26971760-0.26934795) × R
    0.000369649999999999 × 6371000     		dr = 2355.04014999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64235445-0.64273795) × cos(0.26971760) × R
    0.000383499999999981 × 0.963846182892362 × 6371000     		do = 2354.94465596786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64235445-0.64273795) × cos(0.26934795) × R
    0.000383499999999981 × 0.963944613704015 × 6371000     		du = 2355.18514985371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26971760)-sin(0.26934795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963846182892362-0.963944613704015)×R²
    abs(0.64273795-0.64235445)×9.84308116529498e-05×R²
    0.000383499999999981×9.84308116529498e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.84308116529498e-05×40589641000000     		ar = 5546272.46536515m²