Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98654 / 101221
↖ ↑ ↗
← S 69.508573°
E 90.961304°		 ← 106.92 m → S 69.508573°
E 90.964050°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
S 69.509535°
E 90.961304°		 ← 106.91 m →
11 430 m²		 S 69.509535°
E 90.964050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752674102783203 y=0.772258758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752674102783203 × 217)
    floor (0.752674102783203 × 131072)
    floor (98654.5)     		tx = 98654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772258758544922 × 217)
    floor (0.772258758544922 × 131072)
    floor (101221.5)     		ty = 101221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98654 / 101221 ti = "17/98654/101221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98654/101221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98654 ÷ 217
    98654 ÷ 131072     		x = 0.752670288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101221 ÷ 217
    101221 ÷ 131072     		y = 0.772254943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752670288085938 × 2 - 1) × π
    0.505340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58757424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772254943847656 × 2 - 1) × π
    -0.544509887695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.7106282629417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58757424} λ = 1.58757424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7106282629417))-π/2
    2×atan(0.180752197029884)-π/2
    2×0.178821433254344-π/2
    0.357642866508688-1.57079632675     		φ = -1.21315346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58757424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.961304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21315346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.508573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98654 KachelY 101221 1.58757424 -1.21315346 90.961304 -69.508573
    Oben rechts KachelX + 1 98655 KachelY 101221 1.58762218 -1.21315346 90.964050 -69.508573
    Unten links KachelX 98654 KachelY + 1 101222 1.58757424 -1.21317024 90.961304 -69.509535
    Unten rechts KachelX + 1 98655 KachelY + 1 101222 1.58762218 -1.21317024 90.964050 -69.509535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21315346--1.21317024) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21315346--1.21317024) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58757424-1.58762218) × cos(-1.21315346) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.350067223207343 × 6371000     		do = 106.919540698273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58757424-1.58762218) × cos(-1.21317024) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.350051504919603 × 6371000     		du = 106.914739928608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21315346)-sin(-1.21317024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350067223207343-0.350051504919603)×R²
    abs(1.58762218-1.58757424)×1.57182877396633e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.57182877396633e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.57182877396633e-05×40589641000000     		ar = 11430.0175140791m²