Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98642 / 101230
↖ ↑ ↗
← S 69.517225°
E 90.928345°		 ← 106.88 m → S 69.517225°
E 90.931092°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.518186°
E 90.928345°		 ← 106.87 m →
11 419 m²		 S 69.518186°
E 90.931092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752582550048828 y=0.772327423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752582550048828 × 217)
    floor (0.752582550048828 × 131072)
    floor (98642.5)     		tx = 98642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772327423095703 × 217)
    floor (0.772327423095703 × 131072)
    floor (101230.5)     		ty = 101230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98642 / 101230 ti = "17/98642/101230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98642/101230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98642 ÷ 217
    98642 ÷ 131072     		x = 0.752578735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101230 ÷ 217
    101230 ÷ 131072     		y = 0.772323608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752578735351562 × 2 - 1) × π
    0.505157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58699900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772323608398438 × 2 - 1) × π
    -0.544647216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71105969503828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58699900} λ = 1.58699900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71105969503828))-π/2
    2×atan(0.180674231550173)-π/2
    2×0.178745933393685-π/2
    0.35749186678737-1.57079632675     		φ = -1.21330446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58699900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.928345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21330446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.517225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98642 KachelY 101230 1.58699900 -1.21330446 90.928345 -69.517225
    Oben rechts KachelX + 1 98643 KachelY 101230 1.58704694 -1.21330446 90.931092 -69.517225
    Unten links KachelX 98642 KachelY + 1 101231 1.58699900 -1.21332123 90.928345 -69.518186
    Unten rechts KachelX + 1 98643 KachelY + 1 101231 1.58704694 -1.21332123 90.931092 -69.518186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21330446--1.21332123) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21330446--1.21332123) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58699900-1.58704694) × cos(-1.21330446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349925773805322 × 6371000     		do = 106.876338409493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58699900-1.58704694) × cos(-1.21332123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349910063998621 × 6371000     		du = 106.871540230156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21330446)-sin(-1.21332123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349925773805322-0.349910063998621)×R²
    abs(1.58704694-1.58699900)×1.57098067009032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57098067009032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57098067009032e-05×40589641000000     		ar = 11418.5901568834m²