Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98640 / 101234
↖ ↑ ↗
← S 69.521069°
E 90.922852°		 ← 106.83 m → S 69.521069°
E 90.925598°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.522030°
E 90.922852°		 ← 106.83 m →
11 414 m²		 S 69.522030°
E 90.925598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752567291259766 y=0.772357940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752567291259766 × 217)
    floor (0.752567291259766 × 131072)
    floor (98640.5)     		tx = 98640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772357940673828 × 217)
    floor (0.772357940673828 × 131072)
    floor (101234.5)     		ty = 101234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98640 / 101234 ti = "17/98640/101234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98640/101234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98640 ÷ 217
    98640 ÷ 131072     		x = 0.7525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101234 ÷ 217
    101234 ÷ 131072     		y = 0.772354125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7525634765625 × 2 - 1) × π
    0.505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58690313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772354125976562 × 2 - 1) × π
    -0.544708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71125144263676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58690313} λ = 1.58690313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71125144263676))-π/2
    2×atan(0.180639591021391)-π/2
    2×0.178712387693234-π/2
    0.357424775386469-1.57079632675     		φ = -1.21337155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58690313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21337155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.521069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98640 KachelY 101234 1.58690313 -1.21337155 90.922852 -69.521069
    Oben rechts KachelX + 1 98641 KachelY 101234 1.58695106 -1.21337155 90.925598 -69.521069
    Unten links KachelX 98640 KachelY + 1 101235 1.58690313 -1.21338832 90.922852 -69.522030
    Unten rechts KachelX + 1 98641 KachelY + 1 101235 1.58695106 -1.21338832 90.925598 -69.522030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21337155--1.21338832) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21337155--1.21338832) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58690313-1.58695106) × cos(-1.21337155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349862924620089 × 6371000     		do = 106.834852883793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58690313-1.58695106) × cos(-1.21338832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349847214419731 × 6371000     		du = 106.83005558512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21337155)-sin(-1.21338832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349862924620089-0.349847214419731)×R²
    abs(1.58695106-1.58690313)×1.57102003579546e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57102003579546e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57102003579546e-05×40589641000000     		ar = 11414.1578208956m²