Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9864 / 7482
↖ ↑ ↗
← N 15.411320°
E 36.738281°		 ← 2 355.36 m → N 15.411320°
E 36.760254°		 →
↑
2 355.55 m
↓
↑
2 355.55 m
↓
N 15.390136°
E 36.738281°		 ← 2 355.60 m →
5 548 460 m²		 N 15.390136°
E 36.760254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602081298828125 y=0.456695556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602081298828125 × 214)
    floor (0.602081298828125 × 16384)
    floor (9864.5)     		tx = 9864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456695556640625 × 214)
    floor (0.456695556640625 × 16384)
    floor (7482.5)     		ty = 7482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9864 / 7482 ti = "14/9864/7482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9864/7482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9864 ÷ 214
    9864 ÷ 16384     		x = 0.60205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7482 ÷ 214
    7482 ÷ 16384     		y = 0.4566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60205078125 × 2 - 1) × π
    0.2041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64120397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4566650390625 × 2 - 1) × π
    0.086669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.272281589841919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64120397} λ = 0.64120397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272281589841919))-π/2
    2×atan(1.31295666452157)-π/2
    2×0.919887296004783-π/2
    1.83977459200957-1.57079632675     		φ = 0.26897827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64120397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.738281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26897827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.411320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9864 KachelY 7482 0.64120397 0.26897827 36.738281 15.411320
    Oben rechts KachelX + 1 9865 KachelY 7482 0.64158746 0.26897827 36.760254 15.411320
    Unten links KachelX 9864 KachelY + 1 7483 0.64120397 0.26860854 36.738281 15.390136
    Unten rechts KachelX + 1 9865 KachelY + 1 7483 0.64158746 0.26860854 36.760254 15.390136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26897827-0.26860854) × R
    0.000369730000000013 × 6371000     		dl = 2355.54983000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26897827-0.26860854) × R
    0.000369730000000013 × 6371000     		dr = 2355.54983000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64120397-0.64158746) × cos(0.26897827) × R
    0.000383490000000042 × 0.964042920773593 × 6371000     		do = 2355.3639222291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64120397-0.64158746) × cos(0.26860854) × R
    0.000383490000000042 × 0.964141109363391 × 6371000     		du = 2355.6038180439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26897827)-sin(0.26860854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964042920773593-0.964141109363391)×R²
    abs(0.64158746-0.64120397)×9.81885897983759e-05×R²
    0.000383490000000042×9.81885897983759e-05×6371000²
    0.000383490000000042×9.81885897983759e-05×40589641000000     		ar = 5548459.69307394m²