Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9863 / 10477
↖ ↑ ↗
← S 44.793531°
E 36.716308°		 ← 1 733.87 m → S 44.793531°
E 36.738281°		 →
↑
1 733.61 m
↓
↑
1 733.61 m
↓
S 44.809122°
E 36.716308°		 ← 1 733.40 m →
3 005 459 m²		 S 44.809122°
E 36.738281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602020263671875 y=0.639495849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602020263671875 × 214)
    floor (0.602020263671875 × 16384)
    floor (9863.5)     		tx = 9863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639495849609375 × 214)
    floor (0.639495849609375 × 16384)
    floor (10477.5)     		ty = 10477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9863 / 10477 ti = "14/9863/10477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9863/10477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9863 ÷ 214
    9863 ÷ 16384     		x = 0.60198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10477 ÷ 214
    10477 ÷ 16384     		y = 0.63946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60198974609375 × 2 - 1) × π
    0.2039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64082047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.2789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.876286525054626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64082047} λ = 0.64082047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876286525054626))-π/2
    2×atan(0.416326061081875)-π/2
    2×0.394500864465526-π/2
    0.789001728931052-1.57079632675     		φ = -0.78179460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64082047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.716308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78179460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.793531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9863 KachelY 10477 0.64082047 -0.78179460 36.716308 -44.793531
    Oben rechts KachelX + 1 9864 KachelY 10477 0.64120397 -0.78179460 36.738281 -44.793531
    Unten links KachelX 9863 KachelY + 1 10478 0.64082047 -0.78206671 36.716308 -44.809122
    Unten rechts KachelX + 1 9864 KachelY + 1 10478 0.64120397 -0.78206671 36.738281 -44.809122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78179460--0.78206671) × R
    0.000272110000000048 × 6371000     		dl = 1733.6128100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78179460--0.78206671) × R
    0.000272110000000048 × 6371000     		dr = 1733.6128100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64082047-0.64120397) × cos(-0.78179460) × R
    0.000383499999999981 × 0.709650288664124 × 6371000     		do = 1733.87329281176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64082047-0.64120397) × cos(-0.78206671) × R
    0.000383499999999981 × 0.709458546180041 × 6371000     		du = 1733.40481252287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78179460)-sin(-0.78206671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709650288664124-0.709458546180041)×R²
    abs(0.64120397-0.64082047)×0.000191742484082824×R²
    0.000383499999999981×0.000191742484082824×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191742484082824×40589641000000     		ar = 3005458.8881665m²