Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98620 / 101196
↖ ↑ ↗
← S 69.484523°
E 90.867920°		 ← 107.02 m → S 69.484523°
E 90.870666°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.485485°
E 90.867920°		 ← 107.01 m →
11 454 m²		 S 69.485485°
E 90.870666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752414703369141 y=0.772068023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752414703369141 × 217)
    floor (0.752414703369141 × 131072)
    floor (98620.5)     		tx = 98620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772068023681641 × 217)
    floor (0.772068023681641 × 131072)
    floor (101196.5)     		ty = 101196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98620 / 101196 ti = "17/98620/101196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98620/101196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98620 ÷ 217
    98620 ÷ 131072     		x = 0.752410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101196 ÷ 217
    101196 ÷ 131072     		y = 0.772064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752410888671875 × 2 - 1) × π
    0.50482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58594439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.54412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7094298404512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58594439} λ = 1.58594439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7094298404512))-π/2
    2×atan(0.18096894437952)-π/2
    2×0.179031315248627-π/2
    0.358062630497253-1.57079632675     		φ = -1.21273370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58594439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.867920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21273370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.484523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98620 KachelY 101196 1.58594439 -1.21273370 90.867920 -69.484523
    Oben rechts KachelX + 1 98621 KachelY 101196 1.58599232 -1.21273370 90.870666 -69.484523
    Unten links KachelX 98620 KachelY + 1 101197 1.58594439 -1.21275050 90.867920 -69.485485
    Unten rechts KachelX + 1 98621 KachelY + 1 101197 1.58599232 -1.21275050 90.870666 -69.485485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21273370--1.21275050) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21273370--1.21275050) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58594439-1.58599232) × cos(-1.21273370) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.350460391864948 × 6371000     		do = 107.017296694046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58594439-1.58599232) × cos(-1.21275050) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.350444657312592 × 6371000     		du = 107.012491959197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21273370)-sin(-1.21275050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350460391864948-0.350444657312592)×R²
    abs(1.58599232-1.58594439)×1.57345523551511e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.57345523551511e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.57345523551511e-05×40589641000000     		ar = 11454.1037818264m²