Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9861 / 7538
↖ ↑ ↗
← N 14.221789°
E 36.672363°		 ← 2 368.40 m → N 14.221789°
E 36.694336°		 →
↑
2 368.48 m
↓
↑
2 368.48 m
↓
N 14.200489°
E 36.672363°		 ← 2 368.62 m →
5 609 772 m²		 N 14.200489°
E 36.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601898193359375 y=0.460113525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601898193359375 × 214)
    floor (0.601898193359375 × 16384)
    floor (9861.5)     		tx = 9861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460113525390625 × 214)
    floor (0.460113525390625 × 16384)
    floor (7538.5)     		ty = 7538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9861 / 7538 ti = "14/9861/7538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9861/7538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9861 ÷ 214
    9861 ÷ 16384     		x = 0.60186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7538 ÷ 214
    7538 ÷ 16384     		y = 0.4600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60186767578125 × 2 - 1) × π
    0.2037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64005348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4600830078125 × 2 - 1) × π
    0.079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.250805858812134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64005348} λ = 0.64005348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250805858812134))-π/2
    2×atan(1.28506057692526)-π/2
    2×0.909506681938087-π/2
    1.81901336387617-1.57079632675     		φ = 0.24821704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64005348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.672363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24821704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.221789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9861 KachelY 7538 0.64005348 0.24821704 36.672363 14.221789
    Oben rechts KachelX + 1 9862 KachelY 7538 0.64043698 0.24821704 36.694336 14.221789
    Unten links KachelX 9861 KachelY + 1 7539 0.64005348 0.24784528 36.672363 14.200489
    Unten rechts KachelX + 1 9862 KachelY + 1 7539 0.64043698 0.24784528 36.694336 14.200489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24821704-0.24784528) × R
    0.000371759999999999 × 6371000     		dl = 2368.48295999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24821704-0.24784528) × R
    0.000371759999999999 × 6371000     		dr = 2368.48295999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64005348-0.64043698) × cos(0.24821704) × R
    0.000383500000000092 × 0.969351992780225 × 6371000     		do = 2368.39688289265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64005348-0.64043698) × cos(0.24784528) × R
    0.000383500000000092 × 0.969443258315945 × 6371000     		du = 2368.61987001386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24821704)-sin(0.24784528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969351992780225-0.969443258315945)×R²
    abs(0.64043698-0.64005348)×9.1265535720475e-05×R²
    0.000383500000000092×9.1265535720475e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.1265535720475e-05×40589641000000     		ar = 5609771.7948549m²