Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9861 / 10397
↖ ↑ ↗
← S 43.532621°
E 36.672363°		 ← 1 771.33 m → S 43.532621°
E 36.694336°		 →
↑
1 771.07 m
↓
↑
1 771.07 m
↓
S 43.548548°
E 36.672363°		 ← 1 770.87 m →
3 136 749 m²		 S 43.548548°
E 36.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601898193359375 y=0.634613037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601898193359375 × 214)
    floor (0.601898193359375 × 16384)
    floor (9861.5)     		tx = 9861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634613037109375 × 214)
    floor (0.634613037109375 × 16384)
    floor (10397.5)     		ty = 10397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9861 / 10397 ti = "14/9861/10397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9861/10397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9861 ÷ 214
    9861 ÷ 16384     		x = 0.60186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10397 ÷ 214
    10397 ÷ 16384     		y = 0.63458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60186767578125 × 2 - 1) × π
    0.2037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64005348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.2691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.845606909297791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64005348} λ = 0.64005348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845606909297791))-π/2
    2×atan(0.429296734951446)-π/2
    2×0.405504384171822-π/2
    0.811008768343643-1.57079632675     		φ = -0.75978756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64005348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.672363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75978756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.532621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9861 KachelY 10397 0.64005348 -0.75978756 36.672363 -43.532621
    Oben rechts KachelX + 1 9862 KachelY 10397 0.64043698 -0.75978756 36.694336 -43.532621
    Unten links KachelX 9861 KachelY + 1 10398 0.64005348 -0.76006555 36.672363 -43.548548
    Unten rechts KachelX + 1 9862 KachelY + 1 10398 0.64043698 -0.76006555 36.694336 -43.548548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75978756--0.76006555) × R
    0.00027798999999995 × 6371000     		dl = 1771.07428999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75978756--0.76006555) × R
    0.00027798999999995 × 6371000     		dr = 1771.07428999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64005348-0.64043698) × cos(-0.75978756) × R
    0.000383500000000092 × 0.724982348855406 × 6371000     		do = 1771.33378583834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64005348-0.64043698) × cos(-0.76006555) × R
    0.000383500000000092 × 0.724790850382972 × 6371000     		du = 1770.86590173786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75978756)-sin(-0.76006555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724982348855406-0.724790850382972)×R²
    abs(0.64043698-0.64005348)×0.000191498472433937×R²
    0.000383500000000092×0.000191498472433937×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191498472433937×40589641000000     		ar = 3136749.41855664m²