Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98608 / 103216
↖ ↑ ↗
← S 71.343013°
E 90.834961°		 ← 97.71 m → S 71.343013°
E 90.837707°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
S 71.343892°
E 90.834961°		 ← 97.70 m →
9 549 m²		 S 71.343892°
E 90.837707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752323150634766 y=0.787479400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752323150634766 × 217)
    floor (0.752323150634766 × 131072)
    floor (98608.5)     		tx = 98608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787479400634766 × 217)
    floor (0.787479400634766 × 131072)
    floor (103216.5)     		ty = 103216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98608 / 103216 ti = "17/98608/103216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98608/103216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98608 ÷ 217
    98608 ÷ 131072     		x = 0.7523193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103216 ÷ 217
    103216 ÷ 131072     		y = 0.7874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7523193359375 × 2 - 1) × π
    0.504638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58536914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80626237768372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58536914} λ = 1.58536914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80626237768372))-π/2
    2×atan(0.164266958691536)-π/2
    2×0.162812921717668-π/2
    0.325625843435337-1.57079632675     		φ = -1.24517048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58536914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24517048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.343013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98608 KachelY 103216 1.58536914 -1.24517048 90.834961 -71.343013
    Oben rechts KachelX + 1 98609 KachelY 103216 1.58541708 -1.24517048 90.837707 -71.343013
    Unten links KachelX 98608 KachelY + 1 103217 1.58536914 -1.24518582 90.834961 -71.343892
    Unten rechts KachelX + 1 98609 KachelY + 1 103217 1.58541708 -1.24518582 90.837707 -71.343892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24517048--1.24518582) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dl = 97.7311400001932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24517048--1.24518582) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dr = 97.7311400001932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58536914-1.58541708) × cos(-1.24517048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319901807453989 × 6371000     		do = 97.7062462689081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58536914-1.58541708) × cos(-1.24518582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319887273522575 × 6371000     		du = 97.7018072321508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24517048)-sin(-1.24518582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319901807453989-0.319887273522575)×R²
    abs(1.58541708-1.58536914)×1.45339314141513e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45339314141513e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45339314141513e-05×40589641000000     		ar = 9548.72591715774m²