Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98607 / 101553
↖ ↑ ↗
← S 69.825418°
E 90.832215°		 ← 105.31 m → S 69.825418°
E 90.834961°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.826365°
E 90.832215°		 ← 105.31 m →
11 091 m²		 S 69.826365°
E 90.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752315521240234 y=0.774791717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752315521240234 × 217)
    floor (0.752315521240234 × 131072)
    floor (98607.5)     		tx = 98607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774791717529297 × 217)
    floor (0.774791717529297 × 131072)
    floor (101553.5)     		ty = 101553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98607 / 101553 ti = "17/98607/101553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98607/101553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98607 ÷ 217
    98607 ÷ 131072     		x = 0.752311706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101553 ÷ 217
    101553 ÷ 131072     		y = 0.774787902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752311706542969 × 2 - 1) × π
    0.504623413085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.58532121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774787902832031 × 2 - 1) × π
    -0.549575805664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.72654331361556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58532121} λ = 1.58532121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72654331361556))-π/2
    2×atan(0.17789828695485)-π/2
    2×0.176056440203438-π/2
    0.352112880406876-1.57079632675     		φ = -1.21868345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58532121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.832215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21868345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.825418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98607 KachelY 101553 1.58532121 -1.21868345 90.832215 -69.825418
    Oben rechts KachelX + 1 98608 KachelY 101553 1.58536914 -1.21868345 90.834961 -69.825418
    Unten links KachelX 98607 KachelY + 1 101554 1.58532121 -1.21869998 90.832215 -69.826365
    Unten rechts KachelX + 1 98608 KachelY + 1 101554 1.58536914 -1.21869998 90.834961 -69.826365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21868345--1.21869998) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21868345--1.21869998) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58532121-1.58536914) × cos(-1.21868345) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344881819395228 × 6371000     		do = 105.313812480685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58532121-1.58536914) × cos(-1.21869998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344866303527817 × 6371000     		du = 105.309074523915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21868345)-sin(-1.21869998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344881819395228-0.344866303527817)×R²
    abs(1.58536914-1.58532121)×1.55158674109979e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55158674109979e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55158674109979e-05×40589641000000     		ar = 11090.6250846733m²