Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98600 / 103160
↖ ↑ ↗
← S 71.293747°
E 90.812988°		 ← 97.96 m → S 71.293747°
E 90.815735°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 71.294628°
E 90.812988°		 ← 97.95 m →
9 598 m²		 S 71.294628°
E 90.815735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752262115478516 y=0.787052154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752262115478516 × 217)
    floor (0.752262115478516 × 131072)
    floor (98600.5)     		tx = 98600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787052154541016 × 217)
    floor (0.787052154541016 × 131072)
    floor (103160.5)     		ty = 103160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98600 / 103160 ti = "17/98600/103160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98600/103160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98600 ÷ 217
    98600 ÷ 131072     		x = 0.75225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103160 ÷ 217
    103160 ÷ 131072     		y = 0.78704833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75225830078125 × 2 - 1) × π
    0.5045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58498565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78704833984375 × 2 - 1) × π
    -0.5740966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80357791130499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58498565} λ = 1.58498565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80357791130499))-π/2
    2×atan(0.164708520232664)-π/2
    2×0.163242850993021-π/2
    0.326485701986043-1.57079632675     		φ = -1.24431062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58498565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24431062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.293747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98600 KachelY 103160 1.58498565 -1.24431062 90.812988 -71.293747
    Oben rechts KachelX + 1 98601 KachelY 103160 1.58503359 -1.24431062 90.815735 -71.293747
    Unten links KachelX 98600 KachelY + 1 103161 1.58498565 -1.24432600 90.812988 -71.294628
    Unten rechts KachelX + 1 98601 KachelY + 1 103161 1.58503359 -1.24432600 90.815735 -71.294628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24431062--1.24432600) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24431062--1.24432600) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58498565-1.58503359) × cos(-1.24431062) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.320716364053447 × 6371000     		do = 97.9550328215229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58498565-1.58503359) × cos(-1.24432600) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.320701796459687 × 6371000     		du = 97.9505835034186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24431062)-sin(-1.24432600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320716364053447-0.320701796459687)×R²
    abs(1.58503359-1.58498565)×1.45675937602285e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.45675937602285e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.45675937602285e-05×40589641000000     		ar = 9598.00190180424m²