Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 986 / 1213
↖ ↑ ↗
← S 31.503629°
W  6.679688°		 ← 16.665 km → S 31.503629°
W  6.503906°		 →
↑
16.652 km
↓
↑
16.652 km
↓
S 31.653381°
W  6.679688°		 ← 16.638 km →
277.277 km²		 S 31.653381°
W  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481689453125 y=0.592529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481689453125 × 211)
    floor (0.481689453125 × 2048)
    floor (986.5)     		tx = 986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592529296875 × 211)
    floor (0.592529296875 × 2048)
    floor (1213.5)     		ty = 1213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 986 / 1213 ti = "11/986/1213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/986/1213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 986 ÷ 211
    986 ÷ 2048     		x = 0.4814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1213 ÷ 211
    1213 ÷ 2048     		y = 0.59228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    -0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.579844737804199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11658254} λ = -0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579844737804199))-π/2
    2×atan(0.559985304364122)-π/2
    2×0.510477134547756-π/2
    1.02095426909551-1.57079632675     		φ = -0.54984206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54984206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.503629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 986 KachelY 1213 -0.11658254 -0.54984206 -6.679688 -31.503629
    Oben rechts KachelX + 1 987 KachelY 1213 -0.11351458 -0.54984206 -6.503906 -31.503629
    Unten links KachelX 986 KachelY + 1 1214 -0.11658254 -0.55245572 -6.679688 -31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 987 KachelY + 1 1214 -0.11351458 -0.55245572 -6.503906 -31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54984206--0.55245572) × R
    0.00261365999999996 × 6371000     		dl = 16651.6278599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54984206--0.55245572) × R
    0.00261365999999996 × 6371000     		dr = 16651.6278599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11658254--0.11351458) × cos(-0.54984206) × R
    0.00306795999999999 × 0.852607064646969 × 6371000     		do = 16665.034801616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11658254--0.11351458) × cos(-0.55245572) × R
    0.00306795999999999 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 16638.2825139465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54984206)-sin(-0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852607064646969-0.851238379268632)×R²
    abs(-0.11351458--0.11658254)×0.00136868537833734×R²
    0.00306795999999999×0.00136868537833734×6371000²
    0.00306795999999999×0.00136868537833734×40589641000000     		ar = 277277381.066329m²