Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98598 / 101145
↖ ↑ ↗
← S 69.435376°
E 90.807495°		 ← 107.26 m → S 69.435376°
E 90.810242°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
S 69.436340°
E 90.807495°		 ← 107.26 m →
11 501 m²		 S 69.436340°
E 90.810242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752246856689453 y=0.771678924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752246856689453 × 217)
    floor (0.752246856689453 × 131072)
    floor (98598.5)     		tx = 98598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771678924560547 × 217)
    floor (0.771678924560547 × 131072)
    floor (101145.5)     		ty = 101145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98598 / 101145 ti = "17/98598/101145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98598/101145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98598 ÷ 217
    98598 ÷ 131072     		x = 0.752243041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101145 ÷ 217
    101145 ÷ 131072     		y = 0.771675109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752243041992188 × 2 - 1) × π
    0.504486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58488978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771675109863281 × 2 - 1) × π
    -0.543350219726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.70698505857058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58488978} λ = 1.58488978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70698505857058))-π/2
    2×atan(0.181411915238625)-π/2
    2×0.179460205642065-π/2
    0.358920411284129-1.57079632675     		φ = -1.21187592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58488978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.807495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21187592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.435376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98598 KachelY 101145 1.58488978 -1.21187592 90.807495 -69.435376
    Oben rechts KachelX + 1 98599 KachelY 101145 1.58493771 -1.21187592 90.810242 -69.435376
    Unten links KachelX 98598 KachelY + 1 101146 1.58488978 -1.21189275 90.807495 -69.436340
    Unten rechts KachelX + 1 98599 KachelY + 1 101146 1.58493771 -1.21189275 90.810242 -69.436340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21187592--1.21189275) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21187592--1.21189275) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58488978-1.58493771) × cos(-1.21187592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351263640328266 × 6371000     		do = 107.262578275895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58488978-1.58493771) × cos(-1.21189275) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351247882743492 × 6371000     		du = 107.25776650782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21187592)-sin(-1.21189275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351263640328266-0.351247882743492)×R²
    abs(1.58493771-1.58488978)×1.57575847745117e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57575847745117e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57575847745117e-05×40589641000000     		ar = 11500.8572166995m²