Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98594 / 101173
↖ ↑ ↗
← S 69.462372°
E 90.796509°		 ← 107.13 m → S 69.462372°
E 90.799255°		 →
↑
107.10 m
↓
↑
107.10 m
↓
S 69.463335°
E 90.796509°		 ← 107.12 m →
11 473 m²		 S 69.463335°
E 90.799255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752216339111328 y=0.771892547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752216339111328 × 217)
    floor (0.752216339111328 × 131072)
    floor (98594.5)     		tx = 98594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771892547607422 × 217)
    floor (0.771892547607422 × 131072)
    floor (101173.5)     		ty = 101173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98594 / 101173 ti = "17/98594/101173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98594/101173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98594 ÷ 217
    98594 ÷ 131072     		x = 0.752212524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101173 ÷ 217
    101173 ÷ 131072     		y = 0.771888732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752212524414062 × 2 - 1) × π
    0.504425048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58469803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771888732910156 × 2 - 1) × π
    -0.543777465820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.70832729175994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58469803} λ = 1.58469803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70832729175994))-π/2
    2×atan(0.181168581486897)-π/2
    2×0.179224614854492-π/2
    0.358449229708985-1.57079632675     		φ = -1.21234710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58469803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.796509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21234710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.462372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98594 KachelY 101173 1.58469803 -1.21234710 90.796509 -69.462372
    Oben rechts KachelX + 1 98595 KachelY 101173 1.58474596 -1.21234710 90.799255 -69.462372
    Unten links KachelX 98594 KachelY + 1 101174 1.58469803 -1.21236391 90.796509 -69.463335
    Unten rechts KachelX + 1 98595 KachelY + 1 101174 1.58474596 -1.21236391 90.799255 -69.463335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21234710--1.21236391) × R
    1.68100000002003e-05 × 6371000     		dl = 107.096510001276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21234710--1.21236391) × R
    1.68100000002003e-05 × 6371000     		dr = 107.096510001276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58469803-1.58474596) × cos(-1.21234710) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350822446548287 × 6371000     		do = 107.127854447617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58469803-1.58474596) × cos(-1.21236391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350806704908775 × 6371000     		du = 107.12304754862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21234710)-sin(-1.21236391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350822446548287-0.350806704908775)×R²
    abs(1.58474596-1.58469803)×1.57416395114018e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57416395114018e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57416395114018e-05×40589641000000     		ar = 11472.7619345577m²