Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98592 / 103136
↖ ↑ ↗
← S 71.272594°
E 90.791015°		 ← 98.06 m → S 71.272594°
E 90.793762°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 71.273476°
E 90.791015°		 ← 98.06 m →
9 615 m²		 S 71.273476°
E 90.793762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752201080322266 y=0.786869049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752201080322266 × 217)
    floor (0.752201080322266 × 131072)
    floor (98592.5)     		tx = 98592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786869049072266 × 217)
    floor (0.786869049072266 × 131072)
    floor (103136.5)     		ty = 103136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98592 / 103136 ti = "17/98592/103136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98592/103136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98592 ÷ 217
    98592 ÷ 131072     		x = 0.752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103136 ÷ 217
    103136 ÷ 131072     		y = 0.786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58460215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.57373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58460215} λ = 1.58460215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80242742571411))-π/2
    2×atan(0.164898124059208)-π/2
    2×0.16342744132085-π/2
    0.3268548826417-1.57079632675     		φ = -1.24394144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58460215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.791015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24394144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.272594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98592 KachelY 103136 1.58460215 -1.24394144 90.791015 -71.272594
    Oben rechts KachelX + 1 98593 KachelY 103136 1.58465009 -1.24394144 90.793762 -71.272594
    Unten links KachelX 98592 KachelY + 1 103137 1.58460215 -1.24395683 90.791015 -71.273476
    Unten rechts KachelX + 1 98593 KachelY + 1 103137 1.58465009 -1.24395683 90.793762 -71.273476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24394144--1.24395683) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24394144--1.24395683) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58460215-1.58465009) × cos(-1.24394144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32106602036008 × 6371000     		do = 98.0618268572681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58460215-1.58465009) × cos(-1.24395683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321051445117677 × 6371000     		du = 98.0573752030716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24394144)-sin(-1.24395683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32106602036008-0.321051445117677)×R²
    abs(1.58465009-1.58460215)×1.45752424026702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45752424026702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45752424026702e-05×40589641000000     		ar = 9614.71348267774m²