Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98587 / 101153
↖ ↑ ↗
← S 69.443092°
E 90.777283°		 ← 107.25 m → S 69.443092°
E 90.780030°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
S 69.444056°
E 90.777283°		 ← 107.24 m →
11 499 m²		 S 69.444056°
E 90.780030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752162933349609 y=0.771739959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752162933349609 × 217)
    floor (0.752162933349609 × 131072)
    floor (98587.5)     		tx = 98587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771739959716797 × 217)
    floor (0.771739959716797 × 131072)
    floor (101153.5)     		ty = 101153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98587 / 101153 ti = "17/98587/101153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98587/101153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98587 ÷ 217
    98587 ÷ 131072     		x = 0.752159118652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101153 ÷ 217
    101153 ÷ 131072     		y = 0.771736145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752159118652344 × 2 - 1) × π
    0.504318237304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.58436247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771736145019531 × 2 - 1) × π
    -0.543472290039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.70736855376754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58436247} λ = 1.58436247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70736855376754))-π/2
    2×atan(0.18134235797875)-π/2
    2×0.179392863772524-π/2
    0.358785727545047-1.57079632675     		φ = -1.21201060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58436247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.777283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21201060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.443092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98587 KachelY 101153 1.58436247 -1.21201060 90.777283 -69.443092
    Oben rechts KachelX + 1 98588 KachelY 101153 1.58441041 -1.21201060 90.780030 -69.443092
    Unten links KachelX 98587 KachelY + 1 101154 1.58436247 -1.21202743 90.777283 -69.444056
    Unten rechts KachelX + 1 98588 KachelY + 1 101154 1.58441041 -1.21202743 90.780030 -69.444056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21201060--1.21202743) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21201060--1.21202743) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58436247-1.58441041) × cos(-1.21201060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351137539411629 × 6371000     		do = 107.246442816506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58436247-1.58441041) × cos(-1.21202743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351121781030819 × 6371000     		du = 107.241629801385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21201060)-sin(-1.21202743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351137539411629-0.351121781030819)×R²
    abs(1.58441041-1.58436247)×1.57583808105821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57583808105821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57583808105821e-05×40589641000000     		ar = 11499.1270424754m²