Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98586 / 101151
↖ ↑ ↗
← S 69.441163°
E 90.774536°		 ← 107.26 m → S 69.441163°
E 90.777283°		 →
↑
107.29 m
↓
↑
107.29 m
↓
S 69.442128°
E 90.774536°		 ← 107.25 m →
11 507 m²		 S 69.442128°
E 90.777283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752155303955078 y=0.771724700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752155303955078 × 217)
    floor (0.752155303955078 × 131072)
    floor (98586.5)     		tx = 98586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771724700927734 × 217)
    floor (0.771724700927734 × 131072)
    floor (101151.5)     		ty = 101151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98586 / 101151 ti = "17/98586/101151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98586/101151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98586 ÷ 217
    98586 ÷ 131072     		x = 0.752151489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101151 ÷ 217
    101151 ÷ 131072     		y = 0.771720886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752151489257812 × 2 - 1) × π
    0.504302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58431453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771720886230469 × 2 - 1) × π
    -0.543441772460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.7072726799683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58431453} λ = 1.58431453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7072726799683))-π/2
    2×atan(0.181359744793029)-π/2
    2×0.179409696973072-π/2
    0.358819393946143-1.57079632675     		φ = -1.21197693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58431453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.774536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21197693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.441163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98586 KachelY 101151 1.58431453 -1.21197693 90.774536 -69.441163
    Oben rechts KachelX + 1 98587 KachelY 101151 1.58436247 -1.21197693 90.777283 -69.441163
    Unten links KachelX 98586 KachelY + 1 101152 1.58431453 -1.21199377 90.774536 -69.442128
    Unten rechts KachelX + 1 98587 KachelY + 1 101152 1.58436247 -1.21199377 90.777283 -69.442128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21197693--1.21199377) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dl = 107.287640000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21197693--1.21199377) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dr = 107.287640000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58431453-1.58436247) × cos(-1.21197693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351169065237988 × 6371000     		do = 107.256071615351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58431453-1.58436247) × cos(-1.21199377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35115329769298 × 6371000     		du = 107.251255801248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21197693)-sin(-1.21199377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351169065237988-0.35115329769298)×R²
    abs(1.58436247-1.58431453)×1.57675450080941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57675450080941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57675450080941e-05×40589641000000     		ar = 11506.9924608959m²