Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98586 / 101149
↖ ↑ ↗
← S 69.439234°
E 90.774536°		 ← 107.27 m → S 69.439234°
E 90.777283°		 →
↑
107.29 m
↓
↑
107.29 m
↓
S 69.440199°
E 90.774536°		 ← 107.26 m →
11 508 m²		 S 69.440199°
E 90.777283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752155303955078 y=0.771709442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752155303955078 × 217)
    floor (0.752155303955078 × 131072)
    floor (98586.5)     		tx = 98586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771709442138672 × 217)
    floor (0.771709442138672 × 131072)
    floor (101149.5)     		ty = 101149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98586 / 101149 ti = "17/98586/101149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98586/101149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98586 ÷ 217
    98586 ÷ 131072     		x = 0.752151489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101149 ÷ 217
    101149 ÷ 131072     		y = 0.771705627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752151489257812 × 2 - 1) × π
    0.504302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58431453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771705627441406 × 2 - 1) × π
    -0.543411254882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.70717680616906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58431453} λ = 1.58431453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70717680616906))-π/2
    2×atan(0.181377133274328)-π/2
    2×0.179426531684767-π/2
    0.358853063369534-1.57079632675     		φ = -1.21194326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58431453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.774536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21194326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.439234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98586 KachelY 101149 1.58431453 -1.21194326 90.774536 -69.439234
    Oben rechts KachelX + 1 98587 KachelY 101149 1.58436247 -1.21194326 90.777283 -69.439234
    Unten links KachelX 98586 KachelY + 1 101150 1.58431453 -1.21196010 90.774536 -69.440199
    Unten rechts KachelX + 1 98587 KachelY + 1 101150 1.58436247 -1.21196010 90.777283 -69.440199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21194326--1.21196010) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dl = 107.287640000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21194326--1.21196010) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dr = 107.287640000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58431453-1.58436247) × cos(-1.21194326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351200590666238 × 6371000     		do = 107.265700292603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58431453-1.58436247) × cos(-1.21196010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351184823320348 × 6371000     		du = 107.260884539316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21194326)-sin(-1.21196010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351200590666238-0.351184823320348)×R²
    abs(1.58436247-1.58431453)×1.57673458898167e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57673458898167e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57673458898167e-05×40589641000000     		ar = 11508.0255022156m²