Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98585 / 101193
↖ ↑ ↗
← S 69.481634°
E 90.771790°		 ← 107.03 m → S 69.481634°
E 90.774536°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.482597°
E 90.771790°		 ← 107.03 m →
11 456 m²		 S 69.482597°
E 90.774536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752147674560547 y=0.772045135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752147674560547 × 217)
    floor (0.752147674560547 × 131072)
    floor (98585.5)     		tx = 98585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772045135498047 × 217)
    floor (0.772045135498047 × 131072)
    floor (101193.5)     		ty = 101193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98585 / 101193 ti = "17/98585/101193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98585/101193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98585 ÷ 217
    98585 ÷ 131072     		x = 0.752143859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101193 ÷ 217
    101193 ÷ 131072     		y = 0.772041320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752143859863281 × 2 - 1) × π
    0.504287719726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.58426660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772041320800781 × 2 - 1) × π
    -0.544082641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.70928602975234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58426660} λ = 1.58426660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70928602975234))-π/2
    2×atan(0.180994971521329)-π/2
    2×0.179056516922971-π/2
    0.358113033845942-1.57079632675     		φ = -1.21268329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58426660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.771790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21268329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.481634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98585 KachelY 101193 1.58426660 -1.21268329 90.771790 -69.481634
    Oben rechts KachelX + 1 98586 KachelY 101193 1.58431453 -1.21268329 90.774536 -69.481634
    Unten links KachelX 98585 KachelY + 1 101194 1.58426660 -1.21270009 90.771790 -69.482597
    Unten rechts KachelX + 1 98586 KachelY + 1 101194 1.58431453 -1.21270009 90.774536 -69.482597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21268329--1.21270009) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21268329--1.21270009) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58426660-1.58431453) × cos(-1.21268329) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350507604294111 × 6371000     		do = 107.031713577752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58426660-1.58431453) × cos(-1.21270009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350491870038569 × 6371000     		du = 107.026908933539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21268329)-sin(-1.21270009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350507604294111-0.350491870038569)×R²
    abs(1.58431453-1.58426660)×1.57342555411333e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57342555411333e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57342555411333e-05×40589641000000     		ar = 11455.6468661135m²