Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98577 / 101194
↖ ↑ ↗
← S 69.482597°
E 90.749817°		 ← 107.05 m → S 69.482597°
E 90.752564°		 →
↑
107.10 m
↓
↑
107.10 m
↓
S 69.483560°
E 90.749817°		 ← 107.04 m →
11 464 m²		 S 69.483560°
E 90.752564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752086639404297 y=0.772052764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752086639404297 × 217)
    floor (0.752086639404297 × 131072)
    floor (98577.5)     		tx = 98577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772052764892578 × 217)
    floor (0.772052764892578 × 131072)
    floor (101194.5)     		ty = 101194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98577 / 101194 ti = "17/98577/101194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98577/101194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98577 ÷ 217
    98577 ÷ 131072     		x = 0.752082824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101194 ÷ 217
    101194 ÷ 131072     		y = 0.772048950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752082824707031 × 2 - 1) × π
    0.504165649414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.58388310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772048950195312 × 2 - 1) × π
    -0.544097900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70933396665196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58388310} λ = 1.58388310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70933396665196))-π/2
    2×atan(0.180986295391503)-π/2
    2×0.179048115987701-π/2
    0.358096231975401-1.57079632675     		φ = -1.21270009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58388310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.749817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21270009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.482597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98577 KachelY 101194 1.58388310 -1.21270009 90.749817 -69.482597
    Oben rechts KachelX + 1 98578 KachelY 101194 1.58393104 -1.21270009 90.752564 -69.482597
    Unten links KachelX 98577 KachelY + 1 101195 1.58388310 -1.21271690 90.749817 -69.483560
    Unten rechts KachelX + 1 98578 KachelY + 1 101195 1.58393104 -1.21271690 90.752564 -69.483560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21270009--1.21271690) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dl = 107.096509999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21270009--1.21271690) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dr = 107.096509999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58388310-1.58393104) × cos(-1.21270009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350491870038569 × 6371000     		do = 107.049238770444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58388310-1.58393104) × cos(-1.21271690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350476126318389 × 6371000     		du = 107.044430233057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21270009)-sin(-1.21271690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350491870038569-0.350476126318389)×R²
    abs(1.58393104-1.58388310)×1.57437201805943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57437201805943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57437201805943e-05×40589641000000     		ar = 11464.3423819238m²