Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98576 / 103695
↖ ↑ ↗
← S 71.759332°
E 90.747070°		 ← 95.60 m → S 71.759332°
E 90.749817°		 →
↑
95.57 m
↓
↑
95.57 m
↓
S 71.760191°
E 90.747070°		 ← 95.60 m →
9 136 m²		 S 71.760191°
E 90.749817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752079010009766 y=0.791133880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752079010009766 × 217)
    floor (0.752079010009766 × 131072)
    floor (98576.5)     		tx = 98576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791133880615234 × 217)
    floor (0.791133880615234 × 131072)
    floor (103695.5)     		ty = 103695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98576 / 103695 ti = "17/98576/103695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98576/103695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98576 ÷ 217
    98576 ÷ 131072     		x = 0.7520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103695 ÷ 217
    103695 ÷ 131072     		y = 0.791130065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7520751953125 × 2 - 1) × π
    0.504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58383516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791130065917969 × 2 - 1) × π
    -0.582260131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.82922415260172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58383516} λ = 1.58383516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82922415260172))-π/2
    2×atan(0.160538072516474)-π/2
    2×0.15917985979138-π/2
    0.318359719582759-1.57079632675     		φ = -1.25243661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58383516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25243661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.759332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98576 KachelY 103695 1.58383516 -1.25243661 90.747070 -71.759332
    Oben rechts KachelX + 1 98577 KachelY 103695 1.58388310 -1.25243661 90.749817 -71.759332
    Unten links KachelX 98576 KachelY + 1 103696 1.58383516 -1.25245161 90.747070 -71.760191
    Unten rechts KachelX + 1 98577 KachelY + 1 103696 1.58388310 -1.25245161 90.749817 -71.760191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25243661--1.25245161) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dl = 95.5650000006261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25243661--1.25245161) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dr = 95.5650000006261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58383516-1.58388310) × cos(-1.25243661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313009123225216 × 6371000     		do = 95.6010430877501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58383516-1.58388310) × cos(-1.25245161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312994876938216 × 6371000     		du = 95.5966919050009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25243661)-sin(-1.25245161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313009123225216-0.312994876938216)×R²
    abs(1.58388310-1.58383516)×1.42462869999749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42462869999749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42462869999749e-05×40589641000000     		ar = 9135.90577250131m²