Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98574 / 103186
↖ ↑ ↗
← S 71.316637°
E 90.741577°		 ← 97.84 m → S 71.316637°
E 90.744324°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
S 71.317516°
E 90.741577°		 ← 97.84 m →
9 568 m²		 S 71.317516°
E 90.744324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752063751220703 y=0.787250518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752063751220703 × 217)
    floor (0.752063751220703 × 131072)
    floor (98574.5)     		tx = 98574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787250518798828 × 217)
    floor (0.787250518798828 × 131072)
    floor (103186.5)     		ty = 103186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98574 / 103186 ti = "17/98574/103186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98574/103186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98574 ÷ 217
    98574 ÷ 131072     		x = 0.752059936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103186 ÷ 217
    103186 ÷ 131072     		y = 0.787246704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752059936523438 × 2 - 1) × π
    0.504119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58373929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787246704101562 × 2 - 1) × π
    -0.574493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80482427069511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58373929} λ = 1.58373929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80482427069511))-π/2
    2×atan(0.16450336209878)-π/2
    2×0.163043105000574-π/2
    0.326086210001147-1.57079632675     		φ = -1.24471012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58373929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.741577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24471012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.316637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98574 KachelY 103186 1.58373929 -1.24471012 90.741577 -71.316637
    Oben rechts KachelX + 1 98575 KachelY 103186 1.58378723 -1.24471012 90.744324 -71.316637
    Unten links KachelX 98574 KachelY + 1 103187 1.58373929 -1.24472547 90.741577 -71.317516
    Unten rechts KachelX + 1 98575 KachelY + 1 103187 1.58378723 -1.24472547 90.744324 -71.317516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24471012--1.24472547) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dl = 97.794849999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24471012--1.24472547) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dr = 97.794849999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58373929-1.58378723) × cos(-1.24471012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320337941945359 × 6371000     		do = 97.8394529686743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58373929-1.58378723) × cos(-1.24472547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320323400801473 × 6371000     		du = 97.8350117290424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24471012)-sin(-1.24472547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320337941945359-0.320323400801473)×R²
    abs(1.58378723-1.58373929)×1.45411438861043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45411438861043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45411438861043e-05×40589641000000     		ar = 9567.97746207056m²