Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98564 / 101148
↖ ↑ ↗
← S 69.438270°
E 90.714111°		 ← 107.27 m → S 69.438270°
E 90.716858°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
S 69.439234°
E 90.714111°		 ← 107.27 m →
11 502 m²		 S 69.439234°
E 90.716858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751987457275391 y=0.771701812744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751987457275391 × 217)
    floor (0.751987457275391 × 131072)
    floor (98564.5)     		tx = 98564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771701812744141 × 217)
    floor (0.771701812744141 × 131072)
    floor (101148.5)     		ty = 101148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98564 / 101148 ti = "17/98564/101148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98564/101148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98564 ÷ 217
    98564 ÷ 131072     		x = 0.751983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101148 ÷ 217
    101148 ÷ 131072     		y = 0.771697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751983642578125 × 2 - 1) × π
    0.50396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58325992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.54339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70712886926944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58325992} λ = 1.58325992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70712886926944))-π/2
    2×atan(0.18138582814016)-π/2
    2×0.179434949607331-π/2
    0.358869899214662-1.57079632675     		φ = -1.21192643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58325992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21192643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.438270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98564 KachelY 101148 1.58325992 -1.21192643 90.714111 -69.438270
    Oben rechts KachelX + 1 98565 KachelY 101148 1.58330786 -1.21192643 90.716858 -69.438270
    Unten links KachelX 98564 KachelY + 1 101149 1.58325992 -1.21194326 90.714111 -69.439234
    Unten rechts KachelX + 1 98565 KachelY + 1 101149 1.58330786 -1.21194326 90.716858 -69.439234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21192643--1.21194326) × R
    1.68299999998567e-05 × 6371000     		dl = 107.223929999087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21192643--1.21194326) × R
    1.68299999998567e-05 × 6371000     		dr = 107.223929999087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58325992-1.58330786) × cos(-1.21192643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351216348549589 × 6371000     		do = 107.270513155786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58325992-1.58330786) × cos(-1.21194326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351200590666238 × 6371000     		du = 107.265700292603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21192643)-sin(-1.21194326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351216348549589-0.351200590666238)×R²
    abs(1.58330786-1.58325992)×1.57578833508421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57578833508421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57578833508421e-05×40589641000000     		ar = 11501.7079668612m²