Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98558 / 101140
↖ ↑ ↗
← S 69.430551°
E 90.697632°		 ← 107.31 m → S 69.430551°
E 90.700379°		 →
↑
107.35 m
↓
↑
107.35 m
↓
S 69.431516°
E 90.697632°		 ← 107.30 m →
11 520 m²		 S 69.431516°
E 90.700379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751941680908203 y=0.771640777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751941680908203 × 217)
    floor (0.751941680908203 × 131072)
    floor (98558.5)     		tx = 98558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771640777587891 × 217)
    floor (0.771640777587891 × 131072)
    floor (101140.5)     		ty = 101140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98558 / 101140 ti = "17/98558/101140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98558/101140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98558 ÷ 217
    98558 ÷ 131072     		x = 0.751937866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101140 ÷ 217
    101140 ÷ 131072     		y = 0.771636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751937866210938 × 2 - 1) × π
    0.503875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58297230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.54327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70674537407248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58297230} λ = 1.58297230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70674537407248))-π/2
    2×atan(0.18145540207383)-π/2
    2×0.179502306590966-π/2
    0.359004613181932-1.57079632675     		φ = -1.21179171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58297230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.697632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21179171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.430551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98558 KachelY 101140 1.58297230 -1.21179171 90.697632 -69.430551
    Oben rechts KachelX + 1 98559 KachelY 101140 1.58302024 -1.21179171 90.700379 -69.430551
    Unten links KachelX 98558 KachelY + 1 101141 1.58297230 -1.21180856 90.697632 -69.431516
    Unten rechts KachelX + 1 98559 KachelY + 1 101141 1.58302024 -1.21180856 90.700379 -69.431516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21179171--1.21180856) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dl = 107.351349999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21179171--1.21180856) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dr = 107.351349999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58297230-1.58302024) × cos(-1.21179171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351342482934445 × 6371000     		do = 107.30903784362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58297230-1.58302024) × cos(-1.21180856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351326707122487 × 6371000     		du = 107.304219504578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21179171)-sin(-1.21180856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351342482934445-0.351326707122487)×R²
    abs(1.58302024-1.58297230)×1.5775811958274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5775811958274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5775811958274e-05×40589641000000     		ar = 11519.5114524997m²