Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9855 / 3200
↖ ↑ ↗
← N 83.277705°
W125.864868°		 ← 71.50 m → N 83.277705°
W125.859375°		 →
↑
71.55 m
↓
↑
71.55 m
↓
N 83.277062°
W125.864868°		 ← 71.50 m →
5 116 m²		 N 83.277062°
W125.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.150382995605469 y=0.0488357543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.150382995605469 × 216)
    floor (0.150382995605469 × 65536)
    floor (9855.5)     		tx = 9855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0488357543945312 × 216)
    floor (0.0488357543945312 × 65536)
    floor (3200.5)     		ty = 3200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9855 / 3200 ti = "16/9855/3200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9855/3200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9855 ÷ 216
    9855 ÷ 65536     		x = 0.150375366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3200 ÷ 216
    3200 ÷ 65536     		y = 0.048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.150375366210938 × 2 - 1) × π
    -0.699249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.19675636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.048828125 × 2 - 1) × π
    0.90234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.83479649593164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.19675636} λ = -2.19675636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83479649593164))-π/2
    2×atan(17.026934897273)-π/2
    2×1.5121332366157-π/2
    3.0242664732314-1.57079632675     		φ = 1.45347015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.19675636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.864868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45347015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.277705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9855 KachelY 3200 -2.19675636 1.45347015 -125.864868 83.277705
    Oben rechts KachelX + 1 9856 KachelY 3200 -2.19666049 1.45347015 -125.859375 83.277705
    Unten links KachelX 9855 KachelY + 1 3201 -2.19675636 1.45345892 -125.864868 83.277062
    Unten rechts KachelX + 1 9856 KachelY + 1 3201 -2.19666049 1.45345892 -125.859375 83.277062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45347015-1.45345892) × R
    1.12299999999177e-05 × 6371000     		dl = 71.5463299994756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45347015-1.45345892) × R
    1.12299999999177e-05 × 6371000     		dr = 71.5463299994756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.19675636--2.19666049) × cos(1.45347015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.117057187752427 × 6371000     		do = 71.4970986697744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.19675636--2.19666049) × cos(1.45345892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.117068340540769 × 6371000     		du = 71.5039106564955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45347015)-sin(1.45345892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117057187752427-0.117068340540769)×R²
    abs(-2.19666049--2.19675636)×1.11527883426277e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.11527883426277e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.11527883426277e-05×40589641000000     		ar = 5115.59870161118m²