Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98548 / 101170
↖ ↑ ↗
← S 69.459481°
E 90.670166°		 ← 107.16 m → S 69.459481°
E 90.672913°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
S 69.460445°
E 90.670166°		 ← 107.16 m →
11 484 m²		 S 69.460445°
E 90.672913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751865386962891 y=0.771869659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751865386962891 × 217)
    floor (0.751865386962891 × 131072)
    floor (98548.5)     		tx = 98548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771869659423828 × 217)
    floor (0.771869659423828 × 131072)
    floor (101170.5)     		ty = 101170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98548 / 101170 ti = "17/98548/101170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98548/101170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98548 ÷ 217
    98548 ÷ 131072     		x = 0.751861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101170 ÷ 217
    101170 ÷ 131072     		y = 0.771865844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751861572265625 × 2 - 1) × π
    0.50372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58249293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771865844726562 × 2 - 1) × π
    -0.543731689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70818348106108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58249293} λ = 1.58249293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70818348106108))-π/2
    2×atan(0.181194637340723)-π/2
    2×0.179249842563959-π/2
    0.358499685127919-1.57079632675     		φ = -1.21229664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58249293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.670166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21229664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.459481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98548 KachelY 101170 1.58249293 -1.21229664 90.670166 -69.459481
    Oben rechts KachelX + 1 98549 KachelY 101170 1.58254087 -1.21229664 90.672913 -69.459481
    Unten links KachelX 98548 KachelY + 1 101171 1.58249293 -1.21231346 90.670166 -69.460445
    Unten rechts KachelX + 1 98549 KachelY + 1 101171 1.58254087 -1.21231346 90.672913 -69.460445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21229664--1.21231346) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dl = 107.160220000889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21229664--1.21231346) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dr = 107.160220000889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58249293-1.58254087) × cos(-1.21229664) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.350869698964727 × 6371000     		do = 107.164637450305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58249293-1.58254087) × cos(-1.21231346) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.350853948258506 × 6371000     		du = 107.159826779202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21229664)-sin(-1.21231346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350869698964727-0.350853948258506)×R²
    abs(1.58254087-1.58249293)×1.57507062207851e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.57507062207851e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.57507062207851e-05×40589641000000     		ar = 11483.5283694385m²