Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98547 / 101168
↖ ↑ ↗
← S 69.457554°
E 90.667419°		 ← 107.17 m → S 69.457554°
E 90.670166°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
S 69.458517°
E 90.667419°		 ← 107.17 m →
11 485 m²		 S 69.458517°
E 90.670166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751857757568359 y=0.771854400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751857757568359 × 217)
    floor (0.751857757568359 × 131072)
    floor (98547.5)     		tx = 98547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771854400634766 × 217)
    floor (0.771854400634766 × 131072)
    floor (101168.5)     		ty = 101168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98547 / 101168 ti = "17/98547/101168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98547/101168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98547 ÷ 217
    98547 ÷ 131072     		x = 0.751853942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101168 ÷ 217
    101168 ÷ 131072     		y = 0.7718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751853942871094 × 2 - 1) × π
    0.503707885742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.58244499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58244499} λ = 1.58244499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70808760726184))-π/2
    2×atan(0.181212009991784)-π/2
    2×0.179266662924463-π/2
    0.358533325848926-1.57079632675     		φ = -1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58244499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.667419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98547 KachelY 101168 1.58244499 -1.21226300 90.667419 -69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 98548 KachelY 101168 1.58249293 -1.21226300 90.670166 -69.457554
    Unten links KachelX 98547 KachelY + 1 101169 1.58244499 -1.21227982 90.667419 -69.458517
    Unten rechts KachelX + 1 98548 KachelY + 1 101169 1.58249293 -1.21227982 90.670166 -69.458517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21226300--1.21227982) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dl = 107.160219999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21226300--1.21227982) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dr = 107.160219999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58244499-1.58249293) × cos(-1.21226300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350901200079368 × 6371000     		do = 107.174258701059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58244499-1.58249293) × cos(-1.21227982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350885449571682 × 6371000     		du = 107.169448090593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21226300)-sin(-1.21227982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350901200079368-0.350885449571682)×R²
    abs(1.58249293-1.58244499)×1.57505076854303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57505076854303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57505076854303e-05×40589641000000     		ar = 11484.5593879724m²