Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98546 / 101167
↖ ↑ ↗
← S 69.456590°
E 90.664673°		 ← 107.16 m → S 69.456590°
E 90.667419°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
S 69.457554°
E 90.664673°		 ← 107.15 m →
11 483 m²		 S 69.457554°
E 90.667419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751850128173828 y=0.771846771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751850128173828 × 217)
    floor (0.751850128173828 × 131072)
    floor (98546.5)     		tx = 98546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771846771240234 × 217)
    floor (0.771846771240234 × 131072)
    floor (101167.5)     		ty = 101167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98546 / 101167 ti = "17/98546/101167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98546/101167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98546 ÷ 217
    98546 ÷ 131072     		x = 0.751846313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101167 ÷ 217
    101167 ÷ 131072     		y = 0.771842956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751846313476562 × 2 - 1) × π
    0.503692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58239706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771842956542969 × 2 - 1) × π
    -0.543685913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.70803967036222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58239706} λ = 1.58239706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70803967036222))-π/2
    2×atan(0.181220696941928)-π/2
    2×0.179275073671016-π/2
    0.358550147342032-1.57079632675     		φ = -1.21224618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58239706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.664673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21224618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.456590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98546 KachelY 101167 1.58239706 -1.21224618 90.664673 -69.456590
    Oben rechts KachelX + 1 98547 KachelY 101167 1.58244499 -1.21224618 90.667419 -69.456590
    Unten links KachelX 98546 KachelY + 1 101168 1.58239706 -1.21226300 90.664673 -69.457554
    Unten rechts KachelX + 1 98547 KachelY + 1 101168 1.58244499 -1.21226300 90.667419 -69.457554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21224618--1.21226300) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dl = 107.160220000889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21224618--1.21226300) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dr = 107.160220000889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58239706-1.58244499) × cos(-1.21224618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350916950487779 × 6371000     		do = 107.156712362423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58239706-1.58244499) × cos(-1.21226300) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350901200079368 × 6371000     		du = 107.151902785737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21224618)-sin(-1.21226300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350916950487779-0.350901200079368)×R²
    abs(1.58244499-1.58239706)×1.57504084112858e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57504084112858e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57504084112858e-05×40589641000000     		ar = 11482.6791739435m²