Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98545 / 101171
↖ ↑ ↗
← S 69.460445°
E 90.661926°		 ← 107.16 m → S 69.460445°
E 90.664673°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
S 69.461408°
E 90.661926°		 ← 107.16 m →
11 483 m²		 S 69.461408°
E 90.664673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751842498779297 y=0.771877288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751842498779297 × 217)
    floor (0.751842498779297 × 131072)
    floor (98545.5)     		tx = 98545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771877288818359 × 217)
    floor (0.771877288818359 × 131072)
    floor (101171.5)     		ty = 101171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98545 / 101171 ti = "17/98545/101171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98545/101171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98545 ÷ 217
    98545 ÷ 131072     		x = 0.751838684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101171 ÷ 217
    101171 ÷ 131072     		y = 0.771873474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751838684082031 × 2 - 1) × π
    0.503677368164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.58234912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771873474121094 × 2 - 1) × π
    -0.543746948242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.7082314179607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58234912} λ = 1.58234912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7082314179607))-π/2
    2×atan(0.181185951639765)-π/2
    2×0.17924143294998-π/2
    0.35848286589996-1.57079632675     		φ = -1.21231346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58234912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.661926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21231346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.460445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98545 KachelY 101171 1.58234912 -1.21231346 90.661926 -69.460445
    Oben rechts KachelX + 1 98546 KachelY 101171 1.58239706 -1.21231346 90.664673 -69.460445
    Unten links KachelX 98545 KachelY + 1 101172 1.58234912 -1.21233028 90.661926 -69.461408
    Unten rechts KachelX + 1 98546 KachelY + 1 101172 1.58239706 -1.21233028 90.664673 -69.461408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21231346--1.21233028) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dl = 107.160219999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21231346--1.21233028) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dr = 107.160219999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58234912-1.58239706) × cos(-1.21231346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350853948258506 × 6371000     		do = 107.159826778706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58234912-1.58239706) × cos(-1.21233028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350838197453025 × 6371000     		du = 107.155016077286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21231346)-sin(-1.21233028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350853948258506-0.350838197453025)×R²
    abs(1.58239706-1.58234912)×1.57508054816069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57508054816069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57508054816069e-05×40589641000000     		ar = 11483.012855123m²