Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9851 / 10475
↖ ↑ ↗
← S 44.762337°
E 36.452637°		 ← 1 734.81 m → S 44.762337°
E 36.474610°		 →
↑
1 734.50 m
↓
↑
1 734.50 m
↓
S 44.777936°
E 36.452637°		 ← 1 734.34 m →
3 008 630 m²		 S 44.777936°
E 36.474610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601287841796875 y=0.639373779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601287841796875 × 214)
    floor (0.601287841796875 × 16384)
    floor (9851.5)     		tx = 9851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639373779296875 × 214)
    floor (0.639373779296875 × 16384)
    floor (10475.5)     		ty = 10475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9851 / 10475 ti = "14/9851/10475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9851/10475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9851 ÷ 214
    9851 ÷ 16384     		x = 0.60125732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10475 ÷ 214
    10475 ÷ 16384     		y = 0.63934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60125732421875 × 2 - 1) × π
    0.2025146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63621853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.2786865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.875519534660706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63621853} λ = 0.63621853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.875519534660706))-π/2
    2×atan(0.416645501659732)-π/2
    2×0.394773085475501-π/2
    0.789546170951002-1.57079632675     		φ = -0.78125016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63621853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.452637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78125016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.762337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9851 KachelY 10475 0.63621853 -0.78125016 36.452637 -44.762337
    Oben rechts KachelX + 1 9852 KachelY 10475 0.63660203 -0.78125016 36.474610 -44.762337
    Unten links KachelX 9851 KachelY + 1 10476 0.63621853 -0.78152241 36.452637 -44.777936
    Unten rechts KachelX + 1 9852 KachelY + 1 10476 0.63660203 -0.78152241 36.474610 -44.777936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78125016--0.78152241) × R
    0.000272249999999974 × 6371000     		dl = 1734.50474999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78125016--0.78152241) × R
    0.000272249999999974 × 6371000     		dr = 1734.50474999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63621853-0.63660203) × cos(-0.78125016) × R
    0.000383500000000092 × 0.710033770899269 × 6371000     		do = 1734.81024671253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63621853-0.63660203) × cos(-0.78152241) × R
    0.000383500000000092 × 0.709842034951841 × 6371000     		du = 1734.3417823945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78125016)-sin(-0.78152241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710033770899269-0.709842034951841)×R²
    abs(0.63660203-0.63621853)×0.00019173594742794×R²
    0.000383500000000092×0.00019173594742794×6371000²
    0.000383500000000092×0.00019173594742794×40589641000000     		ar = 3008630.35506311m²