Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98495 / 101067
↖ ↑ ↗
← S 69.359991°
E 90.524597°		 ← 107.66 m → S 69.359991°
E 90.527344°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
S 69.360959°
E 90.524597°		 ← 107.66 m →
11 592 m²		 S 69.360959°
E 90.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751461029052734 y=0.771083831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751461029052734 × 217)
    floor (0.751461029052734 × 131072)
    floor (98495.5)     		tx = 98495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771083831787109 × 217)
    floor (0.771083831787109 × 131072)
    floor (101067.5)     		ty = 101067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98495 / 101067 ti = "17/98495/101067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98495/101067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98495 ÷ 217
    98495 ÷ 131072     		x = 0.751457214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101067 ÷ 217
    101067 ÷ 131072     		y = 0.771080017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751457214355469 × 2 - 1) × π
    0.502914428710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.57995227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771080017089844 × 2 - 1) × π
    -0.542160034179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.70324598040022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57995227} λ = 1.57995227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70324598040022))-π/2
    2×atan(0.182091498286053)-π/2
    2×0.180118057401005-π/2
    0.36023611480201-1.57079632675     		φ = -1.21056021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57995227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.524597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21056021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.359991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98495 KachelY 101067 1.57995227 -1.21056021 90.524597 -69.359991
    Oben rechts KachelX + 1 98496 KachelY 101067 1.58000021 -1.21056021 90.527344 -69.359991
    Unten links KachelX 98495 KachelY + 1 101068 1.57995227 -1.21057711 90.524597 -69.360959
    Unten rechts KachelX + 1 98496 KachelY + 1 101068 1.58000021 -1.21057711 90.527344 -69.360959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21056021--1.21057711) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dl = 107.66990000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21056021--1.21057711) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dr = 107.66990000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57995227-1.58000021) × cos(-1.21056021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352495204411552 × 6371000     		do = 107.661108653779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57995227-1.58000021) × cos(-1.21057711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352479389111042 × 6371000     		du = 107.656278253917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21056021)-sin(-1.21057711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352495204411552-0.352479389111042)×R²
    abs(1.58000021-1.57995227)×1.5815300510813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5815300510813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5815300510813e-05×40589641000000     		ar = 11591.6007584947m²