Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9849 / 7540
↖ ↑ ↗
← N 14.179186°
E 36.408691°		 ← 2 368.84 m → N 14.179186°
E 36.430664°		 →
↑
2 368.93 m
↓
↑
2 368.93 m
↓
N 14.157882°
E 36.408691°		 ← 2 369.06 m →
5 611 883 m²		 N 14.157882°
E 36.430664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601165771484375 y=0.460235595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601165771484375 × 214)
    floor (0.601165771484375 × 16384)
    floor (9849.5)     		tx = 9849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460235595703125 × 214)
    floor (0.460235595703125 × 16384)
    floor (7540.5)     		ty = 7540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9849 / 7540 ti = "14/9849/7540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9849/7540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9849 ÷ 214
    9849 ÷ 16384     		x = 0.60113525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7540 ÷ 214
    7540 ÷ 16384     		y = 0.460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60113525390625 × 2 - 1) × π
    0.2022705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63545154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    0.07958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.250038868418213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63545154} λ = 0.63545154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250038868418213))-π/2
    2×atan(1.28407532569457)-π/2
    2×0.909134905112601-π/2
    1.8182698102252-1.57079632675     		φ = 0.24747348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63545154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.408691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24747348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.179186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9849 KachelY 7540 0.63545154 0.24747348 36.408691 14.179186
    Oben rechts KachelX + 1 9850 KachelY 7540 0.63583504 0.24747348 36.430664 14.179186
    Unten links KachelX 9849 KachelY + 1 7541 0.63545154 0.24710165 36.408691 14.157882
    Unten rechts KachelX + 1 9850 KachelY + 1 7541 0.63583504 0.24710165 36.430664 14.157882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24747348-0.24710165) × R
    0.00037182999999999 × 6371000     		dl = 2368.92892999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24747348-0.24710165) × R
    0.00037182999999999 × 6371000     		dr = 2368.92892999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63545154-0.63583504) × cos(0.24747348) × R
    0.000383499999999981 × 0.969534399667488 × 6371000     		do = 2368.84255371786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63545154-0.63583504) × cos(0.24710165) × R
    0.000383499999999981 × 0.969625414333053 × 6371000     		du = 2369.06492789342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24747348)-sin(0.24710165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969534399667488-0.969625414333053)×R²
    abs(0.63583504-0.63545154)×9.10146655646038e-05×R²
    0.000383499999999981×9.10146655646038e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.10146655646038e-05×40589641000000     		ar = 5611883.11508315m²