Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9849 / 10471
↖ ↑ ↗
← S 44.699898°
E 36.408691°		 ← 1 736.68 m → S 44.699898°
E 36.430664°		 →
↑
1 736.42 m
↓
↑
1 736.42 m
↓
S 44.715514°
E 36.408691°		 ← 1 736.22 m →
3 015 200 m²		 S 44.715514°
E 36.430664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601165771484375 y=0.639129638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601165771484375 × 214)
    floor (0.601165771484375 × 16384)
    floor (9849.5)     		tx = 9849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639129638671875 × 214)
    floor (0.639129638671875 × 16384)
    floor (10471.5)     		ty = 10471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9849 / 10471 ti = "14/9849/10471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9849/10471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9849 ÷ 214
    9849 ÷ 16384     		x = 0.60113525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10471 ÷ 214
    10471 ÷ 16384     		y = 0.63909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60113525390625 × 2 - 1) × π
    0.2022705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63545154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.2781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.873985553872864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63545154} λ = 0.63545154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873985553872864))-π/2
    2×atan(0.417285118309021)-π/2
    2×0.395317968684507-π/2
    0.790635937369013-1.57079632675     		φ = -0.78016039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63545154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.408691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78016039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.699898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9849 KachelY 10471 0.63545154 -0.78016039 36.408691 -44.699898
    Oben rechts KachelX + 1 9850 KachelY 10471 0.63583504 -0.78016039 36.430664 -44.699898
    Unten links KachelX 9849 KachelY + 1 10472 0.63545154 -0.78043294 36.408691 -44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 9850 KachelY + 1 10472 0.63583504 -0.78043294 36.430664 -44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78016039--0.78043294) × R
    0.000272549999999927 × 6371000     		dl = 1736.41604999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78016039--0.78043294) × R
    0.000272549999999927 × 6371000     		dr = 1736.41604999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63545154-0.63583504) × cos(-0.78016039) × R
    0.000383499999999981 × 0.710800729882607 × 6371000     		do = 1736.6841411064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63545154-0.63583504) × cos(-0.78043294) × R
    0.000383499999999981 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 1736.21567597988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78016039)-sin(-0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710800729882607-0.710608993604276)×R²
    abs(0.63583504-0.63545154)×0.000191736278331467×R²
    0.000383499999999981×0.000191736278331467×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191736278331467×40589641000000     		ar = 3015199.50988071m²