Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98485 / 101061
↖ ↑ ↗
← S 69.354181°
E 90.497132°		 ← 107.67 m → S 69.354181°
E 90.499878°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
S 69.355149°
E 90.497132°		 ← 107.66 m →
11 592 m²		 S 69.355149°
E 90.499878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751384735107422 y=0.771038055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751384735107422 × 217)
    floor (0.751384735107422 × 131072)
    floor (98485.5)     		tx = 98485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771038055419922 × 217)
    floor (0.771038055419922 × 131072)
    floor (101061.5)     		ty = 101061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98485 / 101061 ti = "17/98485/101061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98485/101061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98485 ÷ 217
    98485 ÷ 131072     		x = 0.751380920410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101061 ÷ 217
    101061 ÷ 131072     		y = 0.771034240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751380920410156 × 2 - 1) × π
    0.502761840820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.57947291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771034240722656 × 2 - 1) × π
    -0.542068481445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.70295835900249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57947291} λ = 1.57947291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70295835900249))-π/2
    2×atan(0.182143879229882)-π/2
    2×0.180168756805162-π/2
    0.360337513610323-1.57079632675     		φ = -1.21045881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57947291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.497132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21045881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.354181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98485 KachelY 101061 1.57947291 -1.21045881 90.497132 -69.354181
    Oben rechts KachelX + 1 98486 KachelY 101061 1.57952084 -1.21045881 90.499878 -69.354181
    Unten links KachelX 98485 KachelY + 1 101062 1.57947291 -1.21047571 90.497132 -69.355149
    Unten rechts KachelX + 1 98486 KachelY + 1 101062 1.57952084 -1.21047571 90.499878 -69.355149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21045881--1.21047571) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dl = 107.66990000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21045881--1.21047571) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dr = 107.66990000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57947291-1.57952084) × cos(-1.21045881) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352590094100259 × 6371000     		do = 107.667626892412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57947291-1.57952084) × cos(-1.21047571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352574279403873 × 6371000     		du = 107.66279768462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21045881)-sin(-1.21047571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352590094100259-0.352574279403873)×R²
    abs(1.57952084-1.57947291)×1.58146963861183e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58146963861183e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58146963861183e-05×40589641000000     		ar = 11592.3026408546m²