Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98479 / 101039
↖ ↑ ↗
← S 69.332865°
E 90.480652°		 ← 107.80 m → S 69.332865°
E 90.483398°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
S 69.333835°
E 90.480652°		 ← 107.79 m →
11 620 m²		 S 69.333835°
E 90.483398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751338958740234 y=0.770870208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751338958740234 × 217)
    floor (0.751338958740234 × 131072)
    floor (98479.5)     		tx = 98479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770870208740234 × 217)
    floor (0.770870208740234 × 131072)
    floor (101039.5)     		ty = 101039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98479 / 101039 ti = "17/98479/101039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98479/101039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98479 ÷ 217
    98479 ÷ 131072     		x = 0.751335144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101039 ÷ 217
    101039 ÷ 131072     		y = 0.770866394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751335144042969 × 2 - 1) × π
    0.502670288085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.57918528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770866394042969 × 2 - 1) × π
    -0.541732788085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.70190374721085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57918528} λ = 1.57918528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70190374721085))-π/2
    2×atan(0.18233607163907)-π/2
    2×0.180354771406899-π/2
    0.360709542813797-1.57079632675     		φ = -1.21008678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57918528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.480652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21008678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.332865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98479 KachelY 101039 1.57918528 -1.21008678 90.480652 -69.332865
    Oben rechts KachelX + 1 98480 KachelY 101039 1.57923322 -1.21008678 90.483398 -69.332865
    Unten links KachelX 98479 KachelY + 1 101040 1.57918528 -1.21010370 90.480652 -69.333835
    Unten rechts KachelX + 1 98480 KachelY + 1 101040 1.57923322 -1.21010370 90.483398 -69.333835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21008678--1.21010370) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21008678--1.21010370) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57918528-1.57923322) × cos(-1.21008678) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.352938207133564 × 6371000     		do = 107.796413088471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57918528-1.57923322) × cos(-1.21010370) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.352922375942013 × 6371000     		du = 107.791577835076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21008678)-sin(-1.21010370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352938207133564-0.352922375942013)×R²
    abs(1.57923322-1.57918528)×1.58311915511855e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58311915511855e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58311915511855e-05×40589641000000     		ar = 11619.9038233387m²