Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98456 / 103064
↖ ↑ ↗
← S 71.208999°
E 90.417481°		 ← 98.36 m → S 71.208999°
E 90.420227°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 71.209884°
E 90.417481°		 ← 98.36 m →
9 676 m²		 S 71.209884°
E 90.420227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751163482666016 y=0.786319732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751163482666016 × 217)
    floor (0.751163482666016 × 131072)
    floor (98456.5)     		tx = 98456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786319732666016 × 217)
    floor (0.786319732666016 × 131072)
    floor (103064.5)     		ty = 103064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98456 / 103064 ti = "17/98456/103064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98456/103064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98456 ÷ 217
    98456 ÷ 131072     		x = 0.75115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103064 ÷ 217
    103064 ÷ 131072     		y = 0.78631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75115966796875 × 2 - 1) × π
    0.5023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57808274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.5726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79897596894147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57808274} λ = 1.57808274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79897596894147))-π/2
    2×atan(0.165468246116139)-π/2
    2×0.163982420488785-π/2
    0.32796484097757-1.57079632675     		φ = -1.24283149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57808274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.417481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24283149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.208999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98456 KachelY 103064 1.57808274 -1.24283149 90.417481 -71.208999
    Oben rechts KachelX + 1 98457 KachelY 103064 1.57813067 -1.24283149 90.420227 -71.208999
    Unten links KachelX 98456 KachelY + 1 103065 1.57808274 -1.24284693 90.417481 -71.209884
    Unten rechts KachelX + 1 98457 KachelY + 1 103065 1.57813067 -1.24284693 90.420227 -71.209884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24283149--1.24284693) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dl = 98.3682400005652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24283149--1.24284693) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dr = 98.3682400005652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57808274-1.57813067) × cos(-1.24283149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322117008081008 × 6371000     		do = 98.3623034852031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57808274-1.57813067) × cos(-1.24284693) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322102390996708 × 6371000     		du = 98.3578399826686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24283149)-sin(-1.24284693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322117008081008-0.322102390996708)×R²
    abs(1.57813067-1.57808274)×1.46170842999505e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46170842999505e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46170842999505e-05×40589641000000     		ar = 9675.50714305498m²